Ensemble des entiers naturels

[nodjim]

Non, ce ne sera pas ma réponse, Skullkid. Je le redis, P(tirer un entier)=0. Mais alors, où se trouve le 1 dans l'histoire, car il faut nécessairement qu'il existe ? Je vais tirer un jeton du sac, et je n'ai pas mis de jeton sans inscription. Alors ?

[beagle]

Non, ce ne sera pas ma réponse, Skullkid. Je le redis, P(tirer un entier)=0. Mais alors, où se trouve le 1 dans l'histoire, car il faut nécessairement qu'il existe ? Je vais tirer un jeton du sac, et je n'ai pas mis de jeton sans inscription. Alors ?

Et bien c'est pas p=0,
avec le zéro de l'ensemble vide

c'est p=0 du zéro de 1/infini de N, et ce zéro n'est pas complètement nul, donc il grossit en le sommant surtout si on n'est pas pressé et qu'on peut l'infinir à volonté plus tard!

attention nodjim, je me fais allumer lorsque je dis cela ou alors un truc proche.
Attendons la bonne formulation!
En espérant qu'elle ne botte pas en touche, genre : puisqu'on te dit depuis le début que l'on ne peut pas définir ce p.

[nodjim]

Non, car pour tout groupe d'entiers, je pourrais te trouver une proba de sortie aussi proche du zéro que nécessaire.

[leon1789]

Non, ça ne dépend pas de la base.

Ah, parler des chiffres d'un nombre entier, cela n'a aucun rapport avec une base de numération... :hein:

[nodjim]

Ah, parler des chiffres d'un nombre entier, cela n'a aucun rapport avec une base de numération... :hein:

Si, bien entendu, mais l'analyse de notre problème ne dépend pas de la base de numération. Restons en base 10 puisque c'est notre base conventionnelle. Mais on pourrait tout aussi bien discuter en base 2.

[leon1789]

Après j'y connais rien en analyse non standard et hyperréels, mais je ne trouverais pas ça étonnant que la réponse apportée aux questions de nodjim par ces théories soit quelque chose du genre "la valeur moyenne de l'entier tiré est non standard"...

moi non plus je n'y connais rien en math non standard, mais je suis de la même intuition que toi dans ce cadre.

[Doraki]

je suis plutôt sceptique sur la capacité à l'analyse standard de pouvoir tirer des entiers au hasard.

On ne peut pas tirer un entier au hasard uniformément, mais on peut tirer un élément de au hasard "uniformément".

Un élément de est la donnée, pour tout n > 0, d'une classe Xn dans Z/nZ,
de sorte que si n divise m, alors Xm + nZ = Xn.
Le tirage uniforme dans cet ensemble est caractérisé par le fait que pour tout n, Xn est uniformément réparti dans Z/nZ.

En fait c'est comme si tu parlais à quelqu'un qui t'assure pouvoir tirer un entier au hasard uniformément mais que les seules questions que tu as le droit de lui poser sont les questions du genre " que vaut n modulo 1000000 ? que vaut n modulo 648478685 ? ...". En vrai il ne tire pas un entier au hasard, mais toi tu ne peux pas t'en rendre compte à moins de poser une infinité de questions en même temps.

Z peut se voir comme un sous-ensemble de , et la probabilité de tirer un élément de Z en utilisant le tirage uniforme est nulle.

[nodjim]

Je ne comprends pas très la comparaison que tu as établie Doraki.

Je dis que si l'on suppose un sous ensemble d'entiers depuis 0 et limité à une certaine valeur, le nombre qu'on pourrait tirer au hasard a plus de chance de sortir si c'est un grand nombre, tout simplement parce les grands nombres sont mieux représentés.
Je dis aussi que si l'on projette l'ensemble N à l'infini, on n'a pas d'autre choix que de considérer les nombres ayant une infinité de chiffres. Il est impossible de limiter le nombre de chiffres de chaque nombre de N si on veut se faire une idée de ce qui se passe à l'infini. Toute limitation du nombre de chiffres conduirait nécessairement à une limitation de N autre que l'infini. Je ne dis pas pour autant qu'un nombre avec une infinité de chiffres est naturel. Je dis simplement que c'est la limite de l'algorithme de la numération de N tel qu'il est conçu. Et donc si on veut tenter de deviner quel nombre pourrait sortir de ce lot, il y a tout intérêt à choisir un nombre illimité, qui est représenté de manière infiniment plus que tout nombre entier (fini).
Si on ne veut pas admettre les nombres illimités comme limite de l'ensemble N, je me demande bien quelle est l'image qu'on peut en avoir ? La suite des entiers ne sont que des chiffres à l'infini, qu'est ce qu'on peut mettre d'autre ? N a une limite à l'infini, c'est l'ensemble des nombres à écriture illimitée.
Au passage, on remarque que si on met une virgule à tous les nombres juste après le 1er chiffre, N (et son prolongement à l'infini) couvre tous les points du segment [1,10[.

[Dlzlogic]

Je dis que si l'on suppose un sous ensemble d'entiers depuis 0 et limité à une certaine valeur, le nombre qu'on pourrait tirer au hasard a plus de chance de sortir si c'est un grand nombre, tout simplement parce les grands nombres sont mieux représentés.

Soit N la limite du domaine de tirage. La moyenne des tirages se situera au rang N/2.
Si on fait une translation de N/2, la moyenne sera 0.
Autrement dit, au leu de considérer l'entier comme un nombre, grand ou petit, considérez-le comme un rang, un numéro d'ordre, un numéro d'identification, c'est à dire tout ce qu'on veut, sauf une valeur.
Concernant l'infini, si on peut le considérer comme la valeur d'un nombre d'entiers, alors la moyenne des tirages sera oo/2, mais c'est dans une mathématique que je ne connais pas.

[Doraki]

Je dis que si l'on suppose un sous ensemble d'entiers depuis 0 et limité à une certaine valeur, le nombre qu'on pourrait tirer au hasard a plus de chance de sortir si c'est un grand nombre, tout simplement parce les grands nombres sont mieux représentés.

Pourrais-tu être plus précis ? Que veux dire l'événement "être un grand nombre" ?

Je dis aussi que si l'on projette l'ensemble N à l'infini,

Avec des si et des manipulations non définies, on fait vraiment n'importe quoi.
Pour l'instant tu parles de tirages au sort uniformes dans {0...L}, c'est-à-dire tu parles des espaces probabilisés ({0...L},P({0...L}),µL) où pour tout événement X (pour tout élément de P({0...L})), µL(X) = Card(X)/(L+1).

Que veux dire "projeter un ensemble" ???? ou "projeter un espace probabilisé" ?????

on n'a pas d'autre choix que de considérer les nombres ayant une infinité de chiffres.

Si on savait de quoi tu parlais on aurait ptetre une chance de comprendre pourquoi on a pas de choix.
Pourrais-tu donner une définition claire et précise de ce que tu appelles "un nombre ayant une infinité de chiffres" ?

je passe sur le charabia qui suit ("limiter le nombre de chiffres de chaque nombre de N" ????? "ce qui se passe à l'infini" ????? "limite de l'algorithme" ??????????????? de quels algorithmes tu parles ?? "limite de l'ensemble N" ???????)

En quoi veux-tu que l'ensemble des entiers infinis soit "la limite de l'ensemble N" ?
Quelle est la propriété de cet ensemble à laquelle tu penses secrètement qui pour toi justifie cette relation entre l'ensemble des entiers infinis et l'ensemble N ?

[leon1789]

au leu de considérer l'entier comme un nombre, grand ou petit, considérez-le comme un rang, un numéro d'ordre, un numéro d'identification, c'est à dire tout ce qu'on veut, sauf une valeur.

C'est certain que c'est vachement plus simple de calculer l'espérance d'une variable aléatoire sur un univers dont les éléments n'ont pas de valeur... pfff. :mur:

[nodjim]

Je lance un pari, auquel tous peuvent participer: proposez un nombre dont le nombre de chiffres sera le plus proche de celui qui pourrait sortir s'il était tiré au hasard (tous les nombres sont dans un sac et on en tire 1).

[leon1789]

tous les nombres sont dans un sac et on en tire 1.

qui "on" ? :lol3: comment va-t-il s'y prendre ? Est-il certain qu'il ne va pas piocher autre chose qu'un entier ? Est-il certain qu'il va en tirer au moins un et pas davantage ?

Ce sont des questions bêtes, mais quand "on" y aura répondu, on verra pourquoi un tirage équiprobable sur les entiers n'est pas possible.

[antonyme]

Je lance un pari, auquel tous peuvent participer: proposez un nombre dont le nombre de chiffres sera le plus proche de celui qui pourrait sortir s'il était tiré au hasard (tous les nombres sont dans un sac et on en tire 1).

heu... T'as mis quoi dans ton sac? On a le droit de savoir?
Si t'as mis l'ensemble Z déjà rend son sac à Mary Poppins et puis moi je pari sur une infinité de chiffre dans le nombre que tu tirera. (Sincèrement je vois pas comment tu peux tirer un nombre dans un ensemble qui contient une infinité de nombres :hum: )

[leon1789]

heu... T'as mis quoi dans ton sac? On a le droit de savoir?

Personnellement, ce que je voudrais savoir, c'est plutôt la probabilité P(i) que le nombre i a d'être tiré.
...Une probabilité P(i) telle que bien sûr !

puis moi je pari sur une infinité de chiffre dans le nombre que tu tirera.

un nombre entier n'a pas une infinité de chiffres.

Sincèrement je vois pas comment tu peux tirer un nombre dans un ensemble qui contient une infinité de nombres :hum:

Ca, c'est effectivement une vraie question.

[Dlzlogic]

@ nodjim,
Bonsoir,
J'avoue que j'ai un peu de mal à imaginer où vous voulez en venir.
Les probabilités, et tout ce que cela sous-entend fait partie des mathématiques "réelles".
En d'autres termes, quelles que soient les formules, théories, toutes les hypothèses concernant les probabilités doivent pouvoir faire l'objet d'expériences, de simulations, c'est à dire de vérifications.
Même si sur le papier on peut définir l'infini, dans le monde réel, ça n'a pas de sens. On a même réussi à dater l'évènement "big bang".
On ne peut pas compter le nombre d'étoiles, mais on sait qu'elles sont en nombre fini.
Je vais prendre un exemple très simple. On coupe une tarte en deux, ainsi indéfiniment.
Oui, ou non ? Ma réponse est non, parce que on arrivera à un moment où la division d'un élément, molécule de quelque-chose, sera la dernière division possible suivant les hypothèses de départ.

[antonyme]

un nombre entier n'a pas une infinité de chiffres.

Pourtant en supposant que l'on peux tirer un entier de manière équiprobable.
Si l'on réfléchit au nombre de chiffres de cette entier que l'on a le plus de chance d'obtenir :
- est-ce que c'est 1 -> bah non il y a plus d'entier a 2 chiffres
- est-ce que c'est 2 -> bah non il y a plus d'entier a 3 chiffres
.........
- est-ce que c'est -> bah non il y a plus d'entier a chiffres
.........
Bah je paris sur un entier qui a une infinité de chiffre :euh:
Je suis d'accord sur le faite que c'est absurde et je dirais que c'est l'hypothèse de départ qui est responsable :marteau:

[Doraki]

nodjim, tant que tu refuses d'expliquer quelle distribution tu mets sur N, "tirer au sort un entier dans mon sac magique qui fait un tirage uniforme sur N alors que c'est impossible" ça ne veut absolument rien dire.
Ou alors tu n'es pas du tout en train de faire des probas et on ne sait toujours pas ce que tu veux dire.

Tu veux pas traduire ce que tu penses en des vraies phrases mathématiques qui ont du sens, du genre :
Théorème : il y a seulement un nombre fini d'entiers à 3 chiffres.
Ca, on comprend tu vois.

[leon1789]

@Dlzlogic
Le fait qu'il existe une infinité (dénombrable, ouf !) d'entiers est une difficulté, mais n'est pas un problème absolu.
En effet, la question de nodjim est loin d'être absurde à condition de simplement préciser la probabilité P(i) que le nombre i soit tiré et telle que

Comme cela a été dit plusieurs fois, il est clair que poser P(i) = 0 pour tout i n'est pas satisfaisant.

En revanche, il existe plein d'autres fonctions de densité de proba qui offrent une espérance réelle. Prenons un exemple simple :

Soit pour i>0, et P(0)=0 , de sorte que .
Dans ces circonstances, l'espérance est donnée par (seulement !) où est la fonction de Riemann.

Et cela se concrétise très bien sur machine avec une simulation ! :zen:

[chan79]

Non, ce ne sera pas ma réponse, Skullkid. Je le redis, P(tirer un entier)=0. Mais alors, où se trouve le 1 dans l'histoire, car il faut nécessairement qu'il existe ? Je vais tirer un jeton du sac, et je n'ai pas mis de jeton sans inscription. Alors ?

Salut à tous
Une autre question aussi farfelue:
si je choisis un nombre entier "au hasard", quelle est la probabilité pour qu'il soit premier ?