[Défi] Partie infinie d'entiers naturels

[Zweig]

Salut,

Comme mon autre défi n'intéresse personne, peut-être que celui-ci le sera un peu plus :zen:

Montrer qu’il n’existe pas de partie infinie telle que pour toute partie finie , le nombre soit un carré parfait.

[Anonyme]

Tres beau probleme.

Je l'ai pas encore resolu mais j'ai un peu avance alors je vais me contenter de donner les idees principales. (je suis sur mon portable)

Par l'absurdre :

si un tel ensemble existe il est constitue uniquement par des carres.

On montre aussi que la somme de i element de X ne peut apartenir a X meme si la somme est un carre.

Un carre se termine toujours par soit 0,1,4,5,6,9 et ne peut se terminer par 2,3,7,8.

On deduit qu il ne peut exister plus de 2 carres dans X se terminant par 1,4,6,9.
Il ne reste plus qu a prouver que X ne peut contenir une infinite de carre se terminant uniquement ou pas par 0 et/ou 5.
Je pense qu en factorisant la somme de deux (ou plus) carres finissant par 5 ou 0 respectivent par la plus grande puissance commune de 5 et de 10 on peut arriver a quelque chose

[Anonyme]

Je me suis compique la vie ...

Tout simplement:

Soit les elements de X ordonnes.

Pour tout n,

Il existe un entier k tel que

On aura alors

Donc il existe un certain rang a partir duquel on obtient plus des carrees si l'on ajoute le 1er terme . Cet ensemble n'existe pas.