Ensemble des entiers naturels

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Judoboy
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par Judoboy » 17 Avr 2012, 00:03

Je comprends pas le problème de nodjim mais bon, il nous demande quel est le plus grand entier au monde, ça me paraît bizarre quoi.

Pour en revenir à ce que Doraki et ev m'ont expliqué plus haut, ça me gêne énormément qu'on ne puisse pas prendre un rationnel de manière uniforme sur [0;1], alors qu'on peut le faire avec un réel. C'est trop contre-intuitif pour passer comme ça, je veux dire normalement on est censés décrire les lois naturelles en maths (ok c'est peut-être pas toujours évident) mais là le fait qu'on puisse pas prendre un rationnel au hasard dans [0;1] ça me choque vraiment trop, j'arrive pas à m'en remettre. Je sens que je vais faire des cauchemars cette nuit.



Doraki
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par Doraki » 17 Avr 2012, 01:30

Si tu veux partir du principe que P(X est dans [a;b]) = b-a, tu peux "faire semblant" de tirer un rationnel dans [0;1] avec cette propriété mais en fait tu tires secrètement un nombre réel (exactement de la même manière que quand la question c'est "que vaut n modulo p^k ?" on obtient un tirage dans la complétion p-adique de Z)

Considère que l'ensemble des événements c'est les manières possibles de répondre à ce genre de questions. Soit l'ensemble des intervalles [a;b] de [0;1] où a et b sont rationels. (donc l'ensemble des questions possibles). Un événement élémentaire A est une manière cohérente de répondre à ces questions, donc c'est une partie de :
Soit .
On décide que pour tout I, l'événement "on répond oui à la question "x est dans I ?"", c'est-à-dire est mesurable, donc on prend la tribu engendrée par tous les

Eh ben en fait on a un isomorphisme d'espace mesurables entre (;),F) et ([0;1],B) où B est la tribu des boréliens. Pour tout A dans ;), on peut extraire une suite décroissante d'intervalles In=[an;bn] qui sont dans A (en commençant par [0;1], qui y est forcément) dont la longueur tend vers 0, donc an et bn convergent vers un réel x, et A = l'ensemble des intervalles qui incluent un In = l'ensemble des intervalles qui contiennent le réel x.
Donc faire semblant de tirer un rationnel au hasard en se basant sur les "P(x est dans [a;b]) = b-a", ça revient au même que de tirer un nombre réel.

Judoboy
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par Judoboy » 17 Avr 2012, 02:50

Doraki je comprends pas trop ton post :(

Ca veut dire quoi "l'ensemble des événements c'est les manières possibles de répondre à ce genre de questions" ? Que c'est "l'ensemble des questions possibles" ?

D'ailleurs c'est quoi le dont tu parlais plus haut ?



Au passage, je pensais à un truc bizarre : si je prends une var sur les entiers que je définis par P(X=n) = (6/Pi²)*1/n², l'espérance est infinie, ça pose pas de problème ?

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leon1789
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par leon1789 » 17 Avr 2012, 13:31

Judoboy a écrit:Au passage, je pensais à un truc bizarre : si je prends une var sur les entiers que je définis par P(X=n) = (6/Pi²)*1/n², l'espérance est infinie, ça pose pas de problème ?

Je comprends que cela puisse poser un souci, mais c'est l'infini qui n'est pas très causant.
Dans le même genre (mais qui n'a rien à voir !), on pourrait se poser le problème d'une surface finie ( ) dont le périmètre est infini.

On peut quand même dire des "choses finies" sur la loi de proba . Pour faire plaisir à nodjim, on peut parler de la proba de tirer des nombres (écrits en base 10)
à 1 chiffre :
à 2 chiffres :
à 3 chiffres :
à 4 chiffres :
etc.
quand n tend vers l'infini
La proba de tirer un grand entier reste importante, trop pour parler d'espérance finie.

Sylviel
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par Sylviel » 17 Avr 2012, 14:14

L'espérance infinie ne pose pas de problème dans la définition d'une variable aléatoire réelle. Elle en poseras pour un certain nombre de théorèmes ou résultats parmi les plus classiques (loi des grands nombres par exemple).
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Elerinna
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Les impacts des moments infinis

par Elerinna » 17 Avr 2012, 18:30

la curiosité s'éveille face aux problèmes classiques de la vie quotidienne et à ceux qui le seraient moins. :)

Sylviel a écrit:L'espérance infinie ne pose pas de problème dans la définition d'une variable aléatoire réelle. Elle en posera pour un certain nombre de théorèmes ou résultats parmi les plus classiques (loi des grands nombres par exemple).


A quel genre de problèmes fait-on référence? Avec quelles conséquences sur les lois des grands nombres?

Quel est le cadre pratique d'une loi de Cauchy (en exemple) ?...H.S: Les grandes déviations fonctionnelles telles que les marches aléatoires, les algorithmes génétiques, etc, appliquent des lois à moments infinis...

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leon1789
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par leon1789 » 17 Avr 2012, 20:02

Elerinna a écrit:A quel genre de problèmes fait-on référence ? Avec quelles conséquences sur lois des grands nombres ?

Dans les hypothèses de la loi des grands nombres, on parle (entre autres) de l'espérance de la variable aléatoire.
S'il n'y a pas d'espérance, comment peut-il y avoir une loi des grands nombres ?

Doraki
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par Doraki » 17 Avr 2012, 20:07

Ben on peut sans doute l'adapter et montrer que P(la moyenne mesurée diverge vers +l'infini) = 1.

Judoboy
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par Judoboy » 17 Avr 2012, 20:54

Doraki a écrit:Ben on peut sans doute l'adapter et montrer que P(la moyenne mesurée diverge vers +l'infini) = 1.

En prenant des nombres au hasard toujours de la même manière on va avoir une suite qui tend vers l'infini ?

nodjim
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par nodjim » 17 Avr 2012, 21:33

Les discussions corrélatives à la question primitive sont de très loin hors de ma portée.
Ma question originelle contient un drôle de paradoxe: on a bien envie de répondre que le plus grand entier est un nombre infini, alors que les entiers sont, par nature, finis, sinon ils n'ont pas de sens, on les place alors dans la catégorie des réels. Si je réponds que le plus grand entier, c'est 9999.... j'ai raison et j'ai tort. J'ai raison parce qu'il n'existe aucun nombre plus grand, j'ai tort parce que je donne une réponse hors sujet.
Est on alors condamné à dire que ça n'existe pas ?

La numération: 1,2,3,... me donne l'impression qu'on en tire 2 séries distinctes: les entiers finis et les réels à écriture infinie. Mais, au final, n'est ce pas la même chose ?
Aïe, je vais encore me faire enguirlander, moi....

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leon1789
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par leon1789 » 17 Avr 2012, 21:57

si tu veux écrire des "nombres" avec une infinité de chiffres (en base 10), alors regarde les entiers 10-adiques :we:

Doraki
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par Doraki » 17 Avr 2012, 22:30

Judoboy a écrit:En prenant des nombres au hasard toujours de la même manière on va avoir une suite qui tend vers l'infini ?

J'ai pas dit que la suite tendait vers l'infini mais que la suite des moyennes tend vers l'infini.

je comprends pas un traître mot de ce que dit nodjim :/
Pourquoi le plus grand entier c'est pas 12345... ?


Judoboy : imagine que tu parles à quelqu'un qui fait semblant de tirer au sort dans Q de sorte que P(x est dans [a;b]) = b-a. Il ne te dit pas la valeur du rationnel qu'il tire au sort mais il accepte de répondre aux questions du type "est-ce que x est dans [a;b] ?".
Comme on sait tous que tout est cassé quand on fait des combinaisons dénombrables de ces trucs, on décide que tu n'as pas le droit de lui poser une infinité de questions, mais seulement un nombre fini (sinon tu découvres le pot aux roses qu'en fait il choisit pas un rationnel pour de vrai).

Du coup, ce pseudo-tirage au sort consiste à préparer à l'avance la réponse à toutes ces questions, de sorte que quelquesoit le nombre fini de question qu'on choisit, tu as l'impression qu'on est vraiment en train de tirer au sort uniformément dans [a;b] (tout se passe comme si il a vraiment un rationnel sous la main qui correspond aux réponses qu'il donne)

Donc l'ensemble des questions "x est-il dans [a;b] ?" bah c'est en bijection avec l'ensembles des intervalles rationnels dans [0;1] ; et un événement élémentaire, c'est une fonction de l'ensemble des questions dans {Vrai ; Faux} qui est "cohérente". Donc c'est la même chose que de choisir une collection d' intervalles qui vérifie certains trucs que j'ai détaillés dans le post.

nodjim
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par nodjim » 18 Avr 2012, 19:23

Pourquoi 9999... et pas 1234.... ?
Bonne question. Le réel 0.9999... est plus grand que le réel 0.1234...
Si on fait la différence, par exemple:
9999...-1234...=au moins 7.... c'est à dire un infini.

Encore une bêtise qui va te toucher:
le nombre 0.000....001 n'existe pas, dis tu, ou plutôt vaut exactement 0.
Je dis pas tout à fait.
car 0.00..01 * infini peut redonner 1 , alors que 0.000.. * infini reste à 0.
Donc, de la même façon, je dis 0.9999... ne vaut pas exactement 1.

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leon1789
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par leon1789 » 18 Avr 2012, 19:47

Nodjim,
ce que tu dis est plus du domaine de l'imaginaire que de celui des maths :lol3:

nodjim
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par nodjim » 18 Avr 2012, 19:50

Complètement oui, je le reconnais humblement.

 

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