En 1644, Pierto Mengoli proposa à la sagacité des mathématiciens de l'époque le problème, connu sous le nom de problème de Mengoli ou encore problème de Bâle, du calcul de la valeur exacte de la limite suivante :
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Ce problème résista aux attaques virulentes des plus grands mathématiciens. Il fallut attendre 1735 pour que le mathématicien suisse Euler montre que ce problème est lié à la quadrature du cercle, c'est-à-dire que la valeur exacte dépend de
Cette solution lui apporta une notoriété immédiate à l'âge de 28 ans, malgré un manque de rigueur dans cette dernière. Il fallut attendre 1745 pour que ce détail soit corrigé. Il proposa par la suite d'autres démonstrations et va jusqu'à déterminer
I - La fonction
On montre que la fonction
1) Soit
montrer que
2) Montrer que
3) Conclure.
II - Démonstration
Il existe plusieurs manières de définir les nombres de Bernoulli. Nous prendrons la définition suivante :
Les nombres de Bernoulli, notés
On définit le polynôme
On définit de plus la fonction
La démonstration repose sur le calcul de deux manières différentes de la limite suivante :
1) Montrer
2)
a) Montrer
b) Montrer
3) Soit
4)
a) Montrer :
b) Montrer
5) Conclure.