Ensemble des entiers naturels

[ev85]

Salut à tous
Une autre question aussi farfelue:
si je choisis un nombre entier "au hasard", quelle est la probabilité pour qu'il soit premier ?

1/ C'est quoi choisir un nombre entier "au hasard" ? voir plus haut.

2/ en théorie des nombres, faute de probabilité uniforme, on parle de densité d'un ensemble.

[antonyme]

Salut à tous
Une autre question aussi farfelue:
si je choisis un nombre entier "au hasard", quelle est la probabilité pour qu'il soit premier ?

Là ça ce complique, si on tire parmi les n premiers entiers naturelles :
avec n=10, on à 2, 3 5 et 7 donc la probabilité de tirer un nombre premier est de 0,4
Puis quand n tend vers l'infini, le nombre de nombres premiers tend aussi vers l'infini.
C'est donc une forme indéterminé et je pense que avant de pouvoir lever l'indétermination, il faudrait d'abord trouver la fameuse formule (si elle existe) qui permettrait de trouver tous les nombre premier :we:
Mais on peut toujours supposer d'après ce qu'on observe que le nombre de nombres premiers tend de moins en moins vite vers l'infini et, ainsi, que la probabilité tend vers 0

(Mais est-ce qu'on peut parler de probabilité en disant que l'on tire uniformément un nombre parmi les n premiers entiers naturelles en faisant tendre n vers l'infini :hein: )

[chan79]

Là ça ce complique, si on tire parmi les n premiers entiers naturelles :
avec n=10, on à 2, 3 5 et 7 donc la probabilité de tirer un nombre premier est de 0,4
Puis quand n tend vers l'infini, le nombre de nombres premiers tend aussi vers l'infini.
C'est donc une forme indéterminé et je pense que avant de pouvoir lever l'indétermination, il faudrait d'abord trouver la fameuse formule (si elle existe) qui permettrait de trouver tous les nombre premier :we:
Mais on peut toujours supposer d'après ce qu'on observe que le nombre de nombres premiers tend de moins en moins vite vers l'infini et, ainsi, que la probabilité tend vers 0

(Mais est-ce qu'on peut parler de probabilité en disant que l'on tire uniformément un nombre parmi les n premiers entiers naturelles en faisant tendre n vers l'infini :hein: )

J'ai lu (Hardy & Wright: Introduction à la théorie des nombres) que la probabilité de tomber sur un nombre premier en choisissant un nombre au hasard entre 0 et x est 1/log(x)
Si on fait tendre x vers +inf, on trouve bien 0 comme tu le dis
Mais, bon, je suis loin de maîtriser toutes ces notions ...

[ev85]

J'ai lu (Hardy & Wright: Introduction à la théorie des nombres) que la probabilité de tomber sur un nombre premier en choisissant un nombre au hasard entre 0 et x est 1/log(x)
Si on fait tendre x vers +inf, on trouve bien 0 comme tu le dis
Mais, bon, je suis loin de maîtriser toutes ces notions ...

Un lien pour la densité arithmétique ou densité naturelle.

[chan79]

Un lien pour la densité arithmétique ou densité naturelle.

Merci, je vais y regarder :happy2:

[antonyme]

J'ai lu (Hardy & Wright: Introduction à la théorie des nombres) que la probabilité de tomber sur un nombre premier en choisissant un nombre au hasard entre 0 et x est 1/log(x)
Si on fait tendre x vers +inf, on trouve bien 0 comme tu le dis
Mais, bon, je suis loin de maîtriser toutes ces notions ...

Dis donc ça à l'air bien ce bouquin... Merci d'en avoir parlé, je vais peut-être me l'acheter :crunch:

[Judoboy]

Qu'est-ce qu'il se passe si je me donne une bijection entre Q inter [0;1] et N, que je tire un nombre au hasard suivant une loi uniforme dans Q inter[0;1], et que je regarde son image ?

[ev85]

Qu'est-ce qu'il se passe si je me donne une bijection entre Q inter [0;1] et N, que je tire un nombre au hasard suivant une loi uniforme dans Q inter[0;1], et que je regarde son image ?

Comment définis-tu une loi uniforme dans ?

[Judoboy]

Je suis très mauvais en théorie de la mesure/probas donc pas taper si je dis une connerie, mais on peut pas prendre P(a

[ev85]

Je suis très mauvais en théorie de la mesure/probas donc pas taper si je dis une connerie, mais on peut pas prendre P(a<X<b) = b-a pour (a,b) appartenant à [0;1]² ?

Oui, mais ça te donne une loi uniforme sur [0,1], pas sur . Cette loi donne une mesure nulle pour toute partie finie ou dénombrable comme .

PS: je ne tape pas par principe, mais si tu as cent balles dont tu veux te séparer...

[Judoboy]

Je me suis mal exprimé je pense, parce que je vois pas où est le problème. Si je dis que X est une variable aléatoire rationnelle qui vérifie P(a

[Doraki]

Ca ne définit pas une mesure sur Q inter [0;1].
Pour tout a rationnel, l'événement X=a est l'intersection dénombrable décroissante des événements "X est dans [a-1/n;a+1/n]", dont la mesure tend vers 0, donc P(X=a) est mesurable et de probabilité nulle.
Si tu prends une énumération des rationnels de [0;1] (a0,a1,...,an...), ;) est la réunion dénombrable croissante des événements "X est dans {a0...an}", dont la mesure est toujours nulle, donc 1=P(;))=0

[Judoboy]

Ah oui exact, donc y a aucun moyen de prendre un rationnel "au hasard" (i.e. suivant une loi uniforme) dans [0;1] ?

[ev85]

Ah oui exact, donc y a aucun moyen de prendre un rationnel "au hasard" (i.e. suivant une loi uniforme) dans [0;1] ?

Bah, non.

Sinon on saurait le faire pour les entiers naturels !

[Judoboy]

Bah, non.

Sinon on saurait le faire pour les entiers naturels !

C'était trop beau

[nodjim]

Je vais poser ma question autrement: Si on vous demandait de choisir un nombre n représentant le nombre de chiffres signicatifs d'un entier, quel n choisiriez vous pour que celui ci représente le plus grand nombre possible d'entiers ?

[Judoboy]

Je vais poser ma question autrement: Si on vous demandait de choisir un nombre n représentant le nombre de chiffres signicatifs d'un entier, quel n choisiriez vous pour que celui ci représente le plus grand nombre possible d'entiers ?

Si je trouve N0 qui vérifie ça, bah N0+1 en représentera encore plus. C'est exactement comme si tu demandais quel est le plus grand entier naturel existant...

[Dlzlogic]

Si je trouve N0 qui vérifie ça, bah N0+1 en représentera encore plus. C'est exactement comme si tu demandais quel est le plus grand entier naturel existant...

J'aime bien la question de Nodjim. Quand on se ballade du côté de l'infini, l'arithmétique qu'on connait ne marche plus.
En math, on peut démontrer tout ce qu'on veut. La seule difficulté est de définir et fixer le hypothèses. Et dans le topic présent, c'est justement ça qui manque.
Hypothèse : ensemble N, donc l'infini. Quelles sont les règles de calcul ? Que veut dire "probabilité" ? Que veut dire "plus grand" ? etc. On ne sait pas en l'absence de ces définitions toute discussion est impossible.

[leon1789]

Je vais poser ma question autrement: Si on vous demandait de choisir un nombre n représentant le nombre de chiffres significatifs (*) d'un entier, quel n choisiriez vous pour que celui ci représente le plus grand nombre possible d'entiers ?

Depuis le temps que tu réfléchis à tes questions, tu as dû te rendre compte qu'il existe entiers s'écrivant avec chiffres en base 10, non ? Alors crois-tu que atteint une valeur maximale pour un certain ???

Bref, j'ai la même réponse que Judoboy !!


(*) Pourquoi "significatifs" ?

[Sylviel]

Heu les règles de calcul (c'est à dire les lois + et *) usuelle sur N sont largement connues, et la relation d'ordre aussi. Qant à la notion de probabilité c'est aussi largement connue :

une proba sur N est une fonction de l'ensemble des parties de N dans [0,1] telles que :
- P(A U B) = P(A) + P(B) si A et B sont disjoint (et la formule s'étend sur une union dénombrable)
- P(N)= 1

J'avoue ne pas trop voir ce qui n'est pas défini :hein:

Après si on veut utiliser l'infini (qui n'est pas dans N), alors là oui, il faut donner les règles de calcul...