Déterminer deux entiers naturels

[anthony_unac]

Bonjour,

Déterminer sans machine deux entiers naturels et tels que :

[nodgim]

a = 1 et b = 0 est une solution.

[GaBuZoMeu]

Et si on veut des entiers naturels strictement positifs, avec une très grande feuille de papier et beaucoup de patience et de soin, on calcule à la main le développement en fraction continue de jusqu'à repérer sa période (67). Il ne reste plus alors qu'à calculer la réduite d'ordre 2x67 - 1 = 133 pour obtenir la solution
a=13673687937600285436522338047798889300505982960692087\
644059539022368201
b=323281233024712565221770716009156212819348235266978239\
649677477568260
En période de confinement, ça occupe !

[anthony_unac]

En période de confinement, on peut au moins se permettre de chercher deux entiers naturels non nuls et de ne pas utiliser le développement en fraction continue bien évidemment

[GaBuZoMeu]

Et comment les cherches-tu ?
En as-tu des plus petits que ceux que j'ai donnés ?

[anthony_unac]

En développant :
Vous obtiendrez une somme de la forme : ou et sont deux entiers solution.

[Imod]

Trop facile ce problème , pourquoi n'y ai-je pas pensé

Imod

[anthony_unac]

Voici le calcul pas à pas amenant à ce résultat :




L'affaire est pliée une fois le calcul de atteint car sa norme vaut et d'après la méthode de Chakravala, il est possible de conclure.

[GaBuZoMeu]

En développant :
Vous obtiendrez une somme de la forme : ou et sont les deux entiers solution.

Pas LES deux entiers solutions, mais UN couple d'entiers solution (il y a une infinité de tels couples). Les entiers que tu obtiens (tu n'expliques pas comment) sont de taille à peu près deux fois plus grande que les entiers dans la solution que j'ai donnée ; ils correspondent à la réduite d'ordre 267 de la fraction continue. Ton est le carré de l'unité de l'anneau des entiers quadratiques correspondant à la solution que j'ai donnée.

Regardons de plus près le nombre



que tu élèves à la puissance 12 pour trouver ta solution. C'est aussi une unité de l'anneau des entiers du corps quadratique , il est de norme . Le numérateur correspond en fait à la réduite d'ordre 24 de la fraction continue . On ne sort pas de la fraction continue, c'est normal.
Au lieu d'élever cette unité à la puissance 12, tu aurais pu te contenter de l'élever à la puissance 6. Tu serais alors retombé sur la solution que j'ai donnée (correspondant à la réduite d'ordre 133). Et si tu l'avais élevée seulement à la puissance 3, tu aurais trouvé la plus petite solution en entiers >0 de , et qui correspond à la réduite d'ordre 66 de la fraction continue.

[anthony_unac]

En développant :
Au lieu d'élever cette unité à la puissance 12, tu aurais pu te contenter de l'élever à la puissance 6. Tu serais alors retombé sur la solution que j'ai donnée (correspondant à la réduite d'ordre 133).

Pourrais tu m'expliquer comment tu peux savoir à l'avance qu'il faut élever le bousin à la puissance 6 ?
Je serais curieux également de voir ton calcul pas à pas qui exploite le développement en fraction continu

[GaBuZoMeu]

Ta feuille écrite en bleu est difficilement lisible. Mais on y voit tout de même clairement ce que tu fais : des calculs de développement en fraction continue.

Tu peux voir cette page wikipedia (je pense que tu l'as déjà vue, mais peut-etre n'es-tu pas allé jusqu'à la section sur les fractions continues ?)

[anthony_unac]

La page wiki que tu donnes est précisément la méthode que j'utilise avec les mêmes notations.
La petite subtilité de la méthode de Chakravala réside dans le fait qu'on ne s'enquiquine pas à calculer tous les . Dès que l'on tombe sur une norme valant +-1 ou +-2 ou +-4, la méthode vous donne UNE solution. Dans cet exemple précis, il a fallu pousser le calcul jusqu'à .
En poussant les calculs jusqu'à , on observe également que le cube de sa norme ()vaut précisément le carré de la norme de ().
On peut alors conclure que est solution :

=

Cela correspond précisément à la solution que tu donnes (sans avoir fourni tes étapes de calcul pas à pas).

[GaBuZoMeu]

Je te l'ai indiqué : je calcule le développement en fraction continue. C'est en fait ce que tu fais aussi - sans le savoir ; bon tu raccourcis un peu en prenant à chaque fois l'entier le plus proche au lieu de prendre la partie entière pour le développement classique. On peut effectivement s'arrêter dès qu'on trouve une norme égale à plus ou moins 4 parce qu'on a attrapé une unité qui est la moitié du courant (1789 est congru à 1 modulo 4). On explore alors les puissances de cette unité, on voit que son cube fournit une solution entière à l'équation avec , et donc sa puissance 6e sera une solution entière à l'équation avec .

[anthony_unac]

Une bonne question du coup est de savoir quand l'apparition d'une norme égale à ou apparaîtra.
Ou plus généralement quand pouvons nous trouver un couple solution de partant d'un entier donné.
En première observation, il semblerait que l'arrêt se produise vers
Si on s’intéresse par exemple à l'équation : , on estime qu'il faudra pousser le calcul jusqu’à soit environ et c'est ce qu'on trouve en pratique. Il était même possible de conclure dès l'obtention de en remarquant que la norme de élevé au carré est égale à la norme de :

Si on s’intéresse à présent à l'équation : , on estime qu'il faudra pousser le calcul jusqu’à soit environ et en pratique, une norme égale à arrive dès .

[GaBuZoMeu]

Tes scans sont très difficilement lisibles. J'y renonce.
9a irait peut-être mieux si tu utilisais un stylo noir.