Triangles harmonieux

[Vassillia]

Bonjour,
Dans un triangle de taille , la première ligne est constituée de signes : + ou -
Toutes les lignes suivantes sont constituées par récurrence en appliquant la régle des signes pour la multiplication.
On dit que le triangle est harmonieux si le nombre de + est identique au nombre de -

Exemple pour un triangle de taille 3, voici tous les triangles harmonieux.


Pour que tout le monde puisse participer, quelques questions progressives :
-Pouvez vous donner des triangles harmonieux de taille 4 ou plus ?
-Pouvez-vous donner une méthode permettant de créer un triangle équilibré de taille (s'il en existe) ?
-Pouvez-vous dénombrer le nombre de triangle harmonieux de taille ? (je n'ai pas de jolie réponse, juste un programme bruteforce)

On pourra généraliser ces questions avec une première ligne constituée de éléments parmi .
Les lignes suivantes s'obtenant alors comme une somme modulo au lieu d'une règle des signes. Je ne vous cache pas qu'à ma connaissance, l'existence de triangle harmonieux dans certains cas de figures est encore au stade conjecture.

Question culturelle : Ces triangles portent le nom d'un mathématicien, lequel ?

[Vassillia]

Pas beaucoup de succès avec ce défi.
Si certains s'y intéressent, vous pouvez peut-être commencer par chercher une condition nécessaire sur pour l'existence d'un triangle harmonieux.
Sinon, vous pouvez aussi me suggérer des thèmes plus à votre goût, je ne vous promets rien mais j'essaierai de trouver un défi respectant cette thématique.

[azf]

Bonjour Vassillia

Je fais remonter ton sujet mais excuse moi en ce moment je suis débordé en géométrie

Tu comprends : Je ne suis pas mathématicien et que pour que je puisse devenir au moins aussi fort que vous (toi et GaBuZoMeu par exemple) bah il va me falloir pas mal de temps et chez moi le temps ça se compte en décennies

En attendant il y a le "mateux" qui possède la Lincoln grise (Alias le big cerveau) et qui me dit ceci dans cette vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=QTfN9auSu4o

Il a quand même raison et la lucidité c'est d'admettre la vérité quand elle se présente

Même si ça m'emmerde (et ça m'emmerde) la vérité c'est toujours mieux

[Black Jack]

[fatal_error]

bj,

juste de passage mais sans contribution, je trouve ces problemes de "combinatoire" intéressants
je les lis mais ne propose rien car rien à proposer, le silence ne signifie pas nécessairement le désintérêt

[Black Jack]

Erreur dans mon dessin avec n = 7 dans mon message précédent.

[Black Jack]

Message corrigé ... sauf nouvelle distraction.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

On peut remarquer que le groupe symétrique agit sur les triangles signés, et transforme bien sûr un triangle harmonieux en triangle harmonieux.
Les 4 triangles pour n=4 de Black Jack appartiennent à une même orbite, et il en manque 2 dans cette orbite : celui avec première ligne ++-+ et celui avec première ligne +-++.

[Vassillia]

Merci à tous pour vos retours positifs et je vois que nous avons bien avancé
Nous avons donc tous les triangles harmonieux pour en cumulant les propositions de BlackJack et GaBuZoMeu.
Nous avons un exemple pour grâce à BlackJack (d'après mon programme, il y en a 40 possibles).
Nous avons aussi une condition nécessaire qui est très pertinente puisque c'est aussi une condition suffisante.

Si on veut, on peut essayer de trouver un exemple pour .
Si on est très motivé, on peut essayer d'exhiber (et dénombrer) de tel triangle harmonieux dans le cas général, je pense que la programmation peut être utile pour s'aider à trouver une idée de construction.

PS : Pour le moment culturel ou pour faciliter vos recherches google si vous préférez partir de ce qui est déjà connu, il s'agit de triangles de Steinhaus. Il existe au moins 2 résolutions indépendantes, la première de Harborth en 1972 et la deuxième de Eliahou-Hachez en 2004.

[GaBuZoMeu]

Pour 7, +++-++- fait l'affaire (avec ses deux compères). Je n'en ai pas cherché d'autres.

[Vassillia]

Parfait donc nous avons aussi un exemple avec (il y en a 12 selon moi)

On peut remarquer que la proposition de BlackJack (pour des compères que je ne choisis pas tout à fait au hasard) +-+-+++- ou +-+++-+- contient au début un triangle de Steinhaus avec (on peut peut-être les appeler par leur nom maintenant pour rendre à Steinhaus ce qui appartient à Steinhaus)

Et la proposition de GaBuZoMeu (via les compères) -++-+++ ou ---+--- contient au début un triangle de Steinhaus avec

Intéressant, non ?

[Vassillia]

Histoire de conclure, on peut imposer une contrainte plus forte en souhaitant que tous les triangles constitués à partir des pour premiers signes soient aussi de Steinhaus. Les configurations suivantes font l'affaire en codant + avec 0 et - avec 1.

Configurations





Configurations






Pour en savoir plus sur les résultats connus pour la généralisation à
https://images.math.cnrs.fr/Des-triangl ... ncees.html
On constate qu'on a l'existence d'une infinité de triangle de Steinhaus pour impair en revanche pour pair, le problème reste entièrement ouvert donc je n'ai même pas essayé, je ne me fais pas d'illusion sur mes chances de succès