Effectivement : depuis le début, je raisonne avec des triangles isométriques (ce qui bien sûr ne m'empèche nullement d'écrire "semblable"... :triste: )
Désolé...
Donc tu as raison : le cas 1 est à séparer en "sous cas"...
Cinq triangles semblables
59 messages
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par beagle » 26 Avr 2010, 16:02
Ben314 a écrit:Effectivement : depuis le début, je raisonne avec des triangles isométriques (ce qui bien sûr ne m'empèche nullement d'écrire "semblable"... :triste: )
Désolé...
Donc tu as raison : le cas 1 est à séparer en "sous cas"...
ce détail m'avait échappé également,
c'est vrai qu'en maths les triangles semblables ne sont pas pareils.
Ben, c'est beagle qui t'a induit d'erreur, le premier crétin à avoir parlé de conditions sur les longueurs c'est lui.
quand je pense que j'ai ralé parce qu'une prof faisait sa maniaque sur figure congrue et figure isométrique.
faut dire que triangles semblables, le type de la nomenclature s'était pas défoncé ce jour là, pour se ratrapper ensuite avec congru et isométrique.
alors que triangle pareil, et le mème triangle c'est bien plus clair.
En plus semblable m'était en partie revenu puisque j'avais trouvé le grand triangle semblable aux petits, je me suis dit c'est pas ça qu'on appelle semblable, sans voir que c'était aussi dans l'énoncé.
Ah, c'est bien, l'exo est plus général que ce que j'en avais vu.
c'est pour ça qu'il est utile d'utiliser la flemme de Doraki.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Ben314 » 26 Avr 2010, 17:51
Bon, je me lance dans l'énumérations des cas...
Soient a,b,c les angles des petits triangles (semblables) : a+b+c=180
La somme des 4 angles rouges fait 360. Quitte à permuter les nom a,b et c (qui pour le moment jouent
le même rôle) on a 4 possibilitées :
4a=360 -> a=90 exclu (on raisonne par l'absurde)
3a+b=360
2a+2b=360 -> c=0 :NON
2a+b+c=360 -> a=180 : NON
Donc 3a+b=360 ce qui, compte tenu du fait que a+b+c=180 conduit à :
b=3(120-a) et c=2(a-90) donc 9090) donc il apparait forcément sur le triangle du bas
et comme c ne fait pas parti des angles rouges, c'est que c'est lui le deuxième angle (qui apparait donc 4 fois).
a+4c=180 conduit à a=100, b=60, c=20 et au dessin suivant :
Sauf que, si on réalise (proprement) la dernière figure en partant du segment du bas, l'angle x vaut environ 62.1° donc ça ne marche pas mais presque...)
Si 'a' ne fait pas partis des 5 angles, on a k.b+(5-k)c=180 (k dans {1..4}) donc k(360-3a)+(5-k)(2a-180)=180 soit (k-2)(a-108)=0.
Si k est différent de 2 alors a=108 et b=c=36 (et k ne signifie rien) :
Mais, dans le premier cas, on trouve x=72° et dans le second x=26.2°
Reste le cas k=2 où on a 2b+3c=180 :
J'arrète, j'en ait marre...
Soient a,b,c les angles des petits triangles (semblables) : a+b+c=180
La somme des 4 angles rouges fait 360. Quitte à permuter les nom a,b et c (qui pour le moment jouent
le même rôle) on a 4 possibilitées :
4a=360 -> a=90 exclu (on raisonne par l'absurde)
3a+b=360
2a+2b=360 -> c=0 :NON
2a+b+c=360 -> a=180 : NON
Donc 3a+b=360 ce qui, compte tenu du fait que a+b+c=180 conduit à :
b=3(120-a) et c=2(a-90) donc 9090) donc il apparait forcément sur le triangle du bas
et comme c ne fait pas parti des angles rouges, c'est que c'est lui le deuxième angle (qui apparait donc 4 fois).
a+4c=180 conduit à a=100, b=60, c=20 et au dessin suivant :
Sauf que, si on réalise (proprement) la dernière figure en partant du segment du bas, l'angle x vaut environ 62.1° donc ça ne marche pas mais presque...)
Si 'a' ne fait pas partis des 5 angles, on a k.b+(5-k)c=180 (k dans {1..4}) donc k(360-3a)+(5-k)(2a-180)=180 soit (k-2)(a-108)=0.
Si k est différent de 2 alors a=108 et b=c=36 (et k ne signifie rien) :
Mais, dans le premier cas, on trouve x=72° et dans le second x=26.2°
Reste le cas k=2 où on a 2b+3c=180 :
J'arrète, j'en ait marre...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par beagle » 26 Avr 2010, 18:44
attends, c'est pas fini Ben,
sur les 5 triangles semblables combien sont différents?
avec le 90, on est limité à 4 triangles semblables différents maximum?
PS: on continue de uniquement parler des triangles qui font somme de surface le grand triangle de départ, sinon, il y a d'autres triangles semblables
sur les 5 triangles semblables combien sont différents?
avec le 90, on est limité à 4 triangles semblables différents maximum?
PS: on continue de uniquement parler des triangles qui font somme de surface le grand triangle de départ, sinon, il y a d'autres triangles semblables
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Imod » 26 Avr 2010, 22:42
Merci aux courageux qui ont essayé :++:
On s'épuise assez vite ( je trouve ) à trouver toutes les configurations possibles , il ne doit pas y en avoir beaucoup mais comment faire le tri :mur:
Pour les intéressés , le lien où j'ai découvert le problème .
Imod
PS : Avez-vous noté la perle de beagle :
Si tous les paresseux étaient comme ça :zen:
On s'épuise assez vite ( je trouve ) à trouver toutes les configurations possibles , il ne doit pas y en avoir beaucoup mais comment faire le tri :mur:
Pour les intéressés , le lien où j'ai découvert le problème .
Imod
PS : Avez-vous noté la perle de beagle :
beagle a écrit:c'est pour ça qu'il est utile d'utiliser la flemme de Doraki.
Si tous les paresseux étaient comme ça :zen:
par beagle » 27 Avr 2010, 16:15
Bonjour, j'ai bossé la théorie des graphes hier soir jusqu'à tard quand mème parce que c'était nouveau pour moi, exprès pour cet exo.
Donc voici mes conclusions:
"Considérons un triangle découpé en 5 triangles. Ceci nous fait un graphe planaire avec G = 6 faces (l'extérieur du triangle de départ compte pour une face). Soit T le nombre de sommets. Parmi ces sommets il y a :
- U = 3 sommets du triangle de départ.
- Q sommets "plats" où une des faces adjacentes au sommet est localement un demi-plan; on dira que le sommet plat appartient à cette face.
- J sommets intérieurs, les autres. "
je me demande si ça ne se voit pas, ça fait pas un peu pompé?
Bon, OK suis allé sur l'autre site, voir où ils en étaient.
plusieurs réponses dont un type qu'a pas l'air d'un boeuf,
donc pour 90, il donne une autre soluce que celle que j'avais et qui engendre 5 triangles semblables différents pour répondre à beagle d'hier.
et il y a un dessin du 120,
donc pourquoi 120?
parce que 4 fois petit (=le grand angle) + 2 fois le petit = 180,
donc ptit est 30, grand 120.
son dessin est fait avec de l'isocèle, et non isométrique,
y en a d'autres?
Donc voici mes conclusions:
"Considérons un triangle découpé en 5 triangles. Ceci nous fait un graphe planaire avec G = 6 faces (l'extérieur du triangle de départ compte pour une face). Soit T le nombre de sommets. Parmi ces sommets il y a :
- U = 3 sommets du triangle de départ.
- Q sommets "plats" où une des faces adjacentes au sommet est localement un demi-plan; on dira que le sommet plat appartient à cette face.
- J sommets intérieurs, les autres. "
je me demande si ça ne se voit pas, ça fait pas un peu pompé?
Bon, OK suis allé sur l'autre site, voir où ils en étaient.
plusieurs réponses dont un type qu'a pas l'air d'un boeuf,
donc pour 90, il donne une autre soluce que celle que j'avais et qui engendre 5 triangles semblables différents pour répondre à beagle d'hier.
et il y a un dessin du 120,
donc pourquoi 120?
parce que 4 fois petit (=le grand angle) + 2 fois le petit = 180,
donc ptit est 30, grand 120.
son dessin est fait avec de l'isocèle, et non isométrique,
y en a d'autres?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par beagle » 27 Avr 2010, 22:15
Je pique les questions du forum étranger:Aldo:
"Dans le reste du fil, il me semble qu'il y a parfois confusion entre les propriétés du triangle de départ et celles des triangles semblables du découpage. C'est bien pour eux qu'il faut montrer 90 et 120 degrés. "
oui, sauf que pour le moment de toutes les soluces vues, le grand triangle est semblable aux différents petits triangles, sauf erreur ,...
"Dans le reste du fil, il me semble qu'il y a parfois confusion entre les propriétés du triangle de départ et celles des triangles semblables du découpage. C'est bien pour eux qu'il faut montrer 90 et 120 degrés. "
oui, sauf que pour le moment de toutes les soluces vues, le grand triangle est semblable aux différents petits triangles, sauf erreur ,...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Imod » 27 Avr 2010, 22:35
En fait j'ai tiqué sur le même point que toi , d'ailleurs le résultat annoncé dans le premier message en ne supposant pas que le grand triangle est semblable aux cinq petit est vraiment exact ?
Imod
Imod
par beagle » 27 Avr 2010, 22:36
J'ai relu et OK, semble plutot que je n'ai pas encore vu de soluces où le triangle de départ n'est pas semblable,
si tous les isocèles peuvent marcher par exemple ...
J'espère que meu fera d'autres dessins.
PS:messages croisés,
oui, alors peut-ètre faut pas croire sur paroles tout ce qui s'écrit.
isocèle semblait évident au message english et aussi sur l'autre forum, me semble-t-il.
en fait d'english, Markelow est moscovite, cela ne l'empèche pas de parler anglais, QS ton lien juste au-dessus
si tous les isocèles peuvent marcher par exemple ...
J'espère que meu fera d'autres dessins.
PS:messages croisés,
oui, alors peut-ètre faut pas croire sur paroles tout ce qui s'écrit.
isocèle semblait évident au message english et aussi sur l'autre forum, me semble-t-il.
en fait d'english, Markelow est moscovite, cela ne l'empèche pas de parler anglais, QS ton lien juste au-dessus
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Ben314 » 27 Avr 2010, 22:48
Ahhhhh, mais l'énoncé a été "bricolé" et on ne sait pas si ça marche !!!!!
(On me dit jamais rien à moi
)
Bon moi, en raisonant par l'absurde (i.e. en supposant qu'il existe 5 triangles semblables sans angles de 90° ou 120° qui pavent un autre triangle pas forcément semblable aux 5 autres), j'en suis là :
7 cas à étudier mais avec des angles non fixes...
J'ai pas le temps de faire un petit programme qui trace les courbes de 'x' et de(s) angle(s) auquel il faudrait qu'il soit égal (si,si, des fois il faut que je bosse...)
J'ai tendance à penser que, en particulier avec la dernière figure où il suffit que 'x' soit égal à 'a' ou à 'c' il risque d'y avoir une solution....
Si un courageux a du temps... (sinon je le ferait mais pas avant le Week-End)
P.S. Il me semble quand même qu'en supposant le "grand" semblable aux 5 petits, c'est trés trés trés nettement plus simple !!!!!
(On me dit jamais rien à moi
)Bon moi, en raisonant par l'absurde (i.e. en supposant qu'il existe 5 triangles semblables sans angles de 90° ou 120° qui pavent un autre triangle pas forcément semblable aux 5 autres), j'en suis là :
7 cas à étudier mais avec des angles non fixes...
J'ai pas le temps de faire un petit programme qui trace les courbes de 'x' et de(s) angle(s) auquel il faudrait qu'il soit égal (si,si, des fois il faut que je bosse...)
J'ai tendance à penser que, en particulier avec la dernière figure où il suffit que 'x' soit égal à 'a' ou à 'c' il risque d'y avoir une solution....
Si un courageux a du temps... (sinon je le ferait mais pas avant le Week-End)
P.S. Il me semble quand même qu'en supposant le "grand" semblable aux 5 petits, c'est trés trés trés nettement plus simple !!!!!
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Imod » 27 Avr 2010, 23:06
Désolé Ben , j'ai transmis le problème comme je l'ai compris :triste: et j'ai séché dessus un moment ( je sèche encore ) . Mais bon , un problème vraiment ouvert de temps en temps ça ne fait pas de mal :++:
En tout cas merci pour tes efforts ( que je suis attentivement ) .
Imod
En tout cas merci pour tes efforts ( que je suis attentivement ) .
Imod
par beagle » 28 Avr 2010, 19:07
salut Dominique,
je te réponds sur MON forum, les autres je les connais pas, enfin pas assez pour aller chez eux.
j'examine ta figure,
je me demande si elle est vraiment possible.
Si on prend vers la droite le quasi-faux losange, bref les deux triangles en vis a vis, ou quasiparallélogramme alongé,
enfin bref,
ces deux triangles ont un coté commun, le tout petit coté en vis à vis,
donc si triangles semblables les autres longueurs sont égales aussi je pense,
or on trouve que les longueurs en face de angle a qui doivent ètre mème longueurs, sont aussi de longueurs égales avec les autres cotés si cette fois on prend les deux grands triangles coté gauche de la figure,
ceci donnerait a=b je crois, donc c=0,
bref, je sais pas si ta figure existe vraiment
je te réponds sur MON forum, les autres je les connais pas, enfin pas assez pour aller chez eux.
j'examine ta figure,
je me demande si elle est vraiment possible.
Si on prend vers la droite le quasi-faux losange, bref les deux triangles en vis a vis, ou quasiparallélogramme alongé,
enfin bref,
ces deux triangles ont un coté commun, le tout petit coté en vis à vis,
donc si triangles semblables les autres longueurs sont égales aussi je pense,
or on trouve que les longueurs en face de angle a qui doivent ètre mème longueurs, sont aussi de longueurs égales avec les autres cotés si cette fois on prend les deux grands triangles coté gauche de la figure,
ceci donnerait a=b je crois, donc c=0,
bref, je sais pas si ta figure existe vraiment
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Imod » 28 Avr 2010, 19:36
La figure existe , je l'ai réalisée en prenant a=100° , b=60° et c=20° . C'est un choix parmi pleins d'autres :we:
Imod
Imod
par beagle » 28 Avr 2010, 21:06
OK, super, c'est bien, j'essaierai pour voir ce qui me génait "a priori".
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Imod » 28 Avr 2010, 21:47
En regardant la figure de plus près , je dois reconnaître que tu as raison :mur:
C'était trop simple :triste:
Imod
C'était trop simple :triste:
Imod
par beagle » 28 Avr 2010, 21:54
non, bien essayé,
mais cela pourrait permettre des déductions sur le point de départ de gauche,
à deux angles égaux, alors égalité de longueur sur ..., donc nananinananère
les associations d'angle sur un sommet ne sont pas si nombreuses ...
Je vous suis avec plaisir, c'est super,...
mais cela pourrait permettre des déductions sur le point de départ de gauche,
à deux angles égaux, alors égalité de longueur sur ..., donc nananinananère
les associations d'angle sur un sommet ne sont pas si nombreuses ...
Je vous suis avec plaisir, c'est super,...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Ben314 » 28 Avr 2010, 22:43
Pour la deuxième figure de la première ligne de mon post précédent, l'équation à résoudre est : =\sin(a)\sin(b))
dont l'unique solution entre 90° et 120° est )
radians, soit environ 110,7048°.
Sauf erreur, pour la première figure de la ligne 1, l'équation (et la solution) est la même.
Il existe donc des solutions avec des triangles dont aucun angle ne fait ni 90°, ni 120°.
Les cotés "en face" des angles a,b et c ont des longueurs proportionnelles à (2,1,racine(2)) et le grand triangle, qui n'est pas proportionnels aux petits à des cotés proportionnels à (6,5,4)
Edit : En fait, avec un triangle de cotés 1,racine(2),2 on peut réaliser les figures 1, 2 et 7 (cas x=c) du post précédent...
Sauf erreur, pour la première figure de la ligne 1, l'équation (et la solution) est la même.
Il existe donc des solutions avec des triangles dont aucun angle ne fait ni 90°, ni 120°.
Les cotés "en face" des angles a,b et c ont des longueurs proportionnelles à (2,1,racine(2)) et le grand triangle, qui n'est pas proportionnels aux petits à des cotés proportionnels à (6,5,4)
Edit : En fait, avec un triangle de cotés 1,racine(2),2 on peut réaliser les figures 1, 2 et 7 (cas x=c) du post précédent...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par beagle » 29 Avr 2010, 15:45
bravo Ben,
t'as bien fait de passer ça sur le temps de recherche que tu dois à la fac,
parce qu'on ne pouvait pas laisser l'autre forum donner les meilleures réponses,
je ne serais pas resté sur maths-forum sans celà
(et pas de blagues, genre:ah zut, si j'avais su ...)
Sérieusement, il y a les contraintes, d'angles, sommets, d'arètes,etc...
et il est assez marrant de voir du 1,2 dans les contraintes de longueurs mème sans isométrie.
j'avais du 1,2 sur mon bète triangle rectangle divisé en 5 isométriques,
marrant de le retrouver là aussi.
Pour les triangles rectangles sans isométrie cela n'est absolument pas nécessaire et meu a donné une méthode marchant pour tous d'une simplicité enfantine (lorsqu'on la connait).
Quand le temps tu pourras regarder une des soluces de meu pour voir si elle correspond à un de tes cas de figure, en fait lequel.
t'as bien fait de passer ça sur le temps de recherche que tu dois à la fac,
parce qu'on ne pouvait pas laisser l'autre forum donner les meilleures réponses,
je ne serais pas resté sur maths-forum sans celà
(et pas de blagues, genre:ah zut, si j'avais su ...)
Sérieusement, il y a les contraintes, d'angles, sommets, d'arètes,etc...
et il est assez marrant de voir du 1,2 dans les contraintes de longueurs mème sans isométrie.
j'avais du 1,2 sur mon bète triangle rectangle divisé en 5 isométriques,
marrant de le retrouver là aussi.
Pour les triangles rectangles sans isométrie cela n'est absolument pas nécessaire et meu a donné une méthode marchant pour tous d'une simplicité enfantine (lorsqu'on la connait).
Quand le temps tu pourras regarder une des soluces de meu pour voir si elle correspond à un de tes cas de figure, en fait lequel.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Ben314 » 29 Avr 2010, 16:45
Si je me suis pas trop gourré, il y a trés exactement 6 solutions, ni plus, ni moins (Rappel, je suis parti "par l'absurde" donc ces solutions sont celles sans angles de 90° ou 120° : je n'ai pas du tout cherché les soluces avec ces angles là)
P.S. :
A la fac je suis sur un poste de P.R.A.G (poste réservé aux agrégés) et je ne suis payé que pour faire de l'enseignement (mais le double d'heures) :
Pour moi, la recherche (quand j'en fait...), c'est "gratos"... et, quand j'en fait pas, eh ben ça me culpabilise pas...
P.S. :
A la fac je suis sur un poste de P.R.A.G (poste réservé aux agrégés) et je ne suis payé que pour faire de l'enseignement (mais le double d'heures) :
Pour moi, la recherche (quand j'en fait...), c'est "gratos"... et, quand j'en fait pas, eh ben ça me culpabilise pas...
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