Combien de triangles comptez-vous ?

[Anonyme]

Bonjour,

Voici une image, dont on cherche à savoir combien de triangles il y a. Souvent je me mets à compter un par un tous les triangles pour voir combien il y en a, mais je m'y perds vite. (Comme plein de monde j'imagine)
Donc l'intérêt de ce topic est de savoir si vous connaissez une méthode pour savoir très rapidement le nombre exact de triangles présents sur cette image. (Il y a des variantes aussi avec des carrés ou autre)

Et est-ce possible de passer par les maths pour trouver le nombre exact de triangles sur cette image ?

Merci d'avance pour vos réponses !

[fatal_error]

salut,

tu peux représenter ton triangle par un graphe. Genre chaque "sommet" c'est un noeud.
Les côtés des triangles représentent des arrêtes.

Un triangle est trouvé par un cycle de longueur 3.
Il suffit de compter tous les cycles de longueur 3 (moyennant les permutations)

[Anonyme]

salut,

tu peux représenter ton triangle par un graphe. Genre chaque "sommet" c'est un noeud.
Les côtés des triangles représentent des arrêtes.

Un triangle est trouvé par un cycle de longueur 3.
Il suffit de compter tous les cycles de longueur 3 (moyennant les permutations)

Merci pour ta réponse Fatal_error !
Je n'ai pas encore étudié les graphes (mais bientôt, on en finit avec les matrices), mais je vois ce que c'est et ce que tu veux me dire
Je vais essayé de trouver le nombre de triangles comme tu proposes, merci encore.

Sinon, est-ce qu'il existe d'autres méthodes sans passer par les graphes ?

P.S : je n'y avais même pas pensé aux graphes...

[nodjim]

Si on considère le triangle le plus petit comme ayant une longueur unité, combien de triangles contient une figure de coté n ?
Peut être en examinant les cas n=1,2,3 ...devrais tu sans doute arriver à trouver la formule générale. Elle ne semble pas bien compliquée.

[Dlzlogic]

Bonjour Saccharine,
Content de te revoir.
Moi, je procéderais comme ça.
1 sommet peut avoir 2 ou 4 ou 6 liaisons.
Les 3 sommets qui ont 2 liaisons sont les sommets de 4 triangles, mais un triangle est compté 3 fois.
Même raisonnement à faire pour les sommets à 4 et 6 liaisons.

Autre méthode que j'essayerais : la figure comporte un certain nombre de "petits" triangle, faciles à identifier. Et on étudie le cas du centre de ces triangles
Ensuite il faut dresser la liste des dispositions possibles, il ne devrait pas y avoir tellement de cas différents.

Je pense à une troisième méthode, sur une feuille de papier on trace le grand triangle.
Puis à côté on trace une première division, et ainsi de suite, c'est à dire qu'on décompose le problème.

De toute façon, il faudra investir dans du papier et un crayon. :stupid_in

[Anonyme]

Merci pour vos réponses Nodjim et Dlzlogic.

@Nodjim : je vais essayer de voir ;)
@Dlzlogic : j'aime bien ta dernière methode en décomposition, mais si on imagine que ce triangle est encore plus grand, et qu'il contient encore plus de triangles, on aura besoin plus d'un papier, ainsi qu'on en aura de quoi passer toute une après-midi dessus :zen:

Je précise quand même que ce n'est pas quelque chose qu'on m'a demandé de faire, mais simplement moi même qui ai voulu en savoir plus la-dessus, pour voir les différentes façons de procéder pour compter ces triangles ;)

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai rien comme bagage en théorie des graphes non plus :(
Mais essaye de conjecturer une formule en augmentant le nombre de triangles, que tu démontreras ensuite par récurrence.

[Anonyme]

Salut Kikoo,

Moi j'en ai un tout petit peu, puisque le prof nous avait donné un exercice avec des graphes relié aux matrices ;)
Et puis, j'ai mon livre, donc je vais essayer de me débrouiller comme je peux :)

Et sinon, la récurrence ce n'est pas mon point fort, j'en ai fait que très peu, dans le cas des suites, donc j'ai un peu du mal ici...

[Kikoo <3 Bieber]

Tu devras essayer de relier le nombre U de triangles en fonction de n, qui est le nombre de noeuds, ou arêtes, ou que sais-je :)
Mais s'il y a bien une relation qui apparaît, on t'aidera à la démontrer t'inquiète pas, en plus ça te fera un peu d'entrainement ;)

[Anonyme]

Hmm... Je ne vois pas trop comment faire ça en fait :hum:
Mais je vais essayer de voir avec un brouillon sous la main ;)

[ffpower]

Je te conseille de suivre la piste de Nodjim, c'est je pense le plus simple. Et accessoirement en plus de separer les differentes longueurs, tu peux separer les cas "triangles normaux"( qui pointent vers le haut) et "triangles inverses" (pointent vers le bas). Par ex, nb de triangles normaux de longueur 1=1+2+3+4
nb de triangles inverses de longueur 1=1+2+3, ect., et ya clairement une formule qui se degage..

[chan79]

Je te conseille de suivre la piste de Nodjim, c'est je pense le plus simple. Et accessoirement en plus de separer les differentes longueurs, tu peux separer les cas "triangles normaux"( qui pointent vers le haut) et "triangles inverses" (pointent vers le bas). Par ex, nb de triangles normaux de longueur 1=1+2+3+4
nb de triangles inverses de longueur 1=1+2+3, ect., et ya clairement une formule qui se degage..

Bonjour
Ceux qui pointent vers le haut sont assez faciles à dénombrer:
Si les côtés sont partagés en n

On doit savoir ajouter les carrés des n premiers entiers
On arrive à
Pour ceux qui pointent vers le bas, mieux vaut envisager deux cas: n pair et n impair
C'est le même genre de calcul

[nodjim]

Pour les triangles de coté 2k j'ai trouvé k(k+1)(4k+1)/2.

[chan79]

Pour les triangles de coté 2k j'ai trouvé k(k+1)(4k+1)/2.

J'ai bien la même chose

[chaa13]

Woua c'est cool ça ! Moi aussi souvent je me retrouve comme un imbécile a compter les triangle de cette figure :P

[Kikoo <3 Bieber]

T'inquiète pas, t'es pas le seul, je compte aussi les triangles...

[Anonyme]

Bonsoir,

Sérieusement, qui passe par des calculs mathématiques pour trouver le nombre exact de triangles ?
Moi je commence à compter. N'etant pas sure de moi, je recompte. Je m'apperçois que je ne trouve pas le même nombre de triangles, donc je recompte encore et encore. Après, ben ça me prend tellement la tete que j'abandonne en disant que je les recompterai plus tard si j'en ai le temps ^^
C'est donc la raison pour laquelle j'ai ouvert cette discussion, pour voir s'il n'y avait pas de moyens plus rapides en passant par les maths. C'est surement plus rapide avec ceux qu'on m'a proposé (merci encore !), mais faudrait-il déjà savoir les maîtriser...

Très bonne soirée à vous.

[chaa13]

:P Tu me rassure la !! T'en compte combien sion (dsl pour le petit HS)

[Anonyme]

Ce n'est pas du HS, t'inquiètes pas ;)
Je suis super fatiguée après avoir passé ma soirée à faire des maths, mais je tente quand même ma chance : je viens tout juste d'en compter 27. Mais il doit surement y en avoir plus... Attends je recompte :p
Et toi sinon ? Tu en comptes combien ?

[Anonyme]

J'en compte 26 cette fois-ci :hum:
Je crois qu'il est temps pour moi d'aller me coucher.

Bonne soirée à toi Chaa, à bientôt !