Système de deux triangles

[SphinxDeLOblast]

Personnellement, la solution de fatal_error me convient parfaitement !
Et en prime le script est fourni, que demander de plus ! Merci beaucoup !

Juste deux petites choses : je ne comprend pas bien à quoi sert le var a = 0; de la première ligne de la fonction solve(F,D,C,A,O), et peut-être as-tu voulu mettre une virgule au lieu d'un point virgule après la déclaration de bs et as ?

Excuse moi mais je termine en donnant une solution algébrique ...et fini avec toutes les bêtises que j'ai précédemment dites :marteau:

METHODOLOGIE

J'utilise principalement et notamment le théorême de Héron d'Alexandrie du Ier siecle qui stipule :
Si a,b,c sont les trois cotés d'un triangle quelconque alors :


est la hauteur de ce triangle en considérant sa base de longueur i et qui est l'un des trois cotés a,b, ou c


est l'aire de ce triangle

avec

Ensuite je considere :
*la hauteur du triangle definit par les points O,A,B et que je note et en considerant que le segment OB constitue la base de ce triangle
*la hauteur du triangle definit par les points O,B,C et que je note et en considerant que le segment OB constitue la base de ce triangle
*la hauteur du triangle definit par les points O,D,E et que je note et en considerant que le segment OE constitue la base de ce triangle
*la hauteur du triangle definit par les points O,E,F et que je note et en considerant que le segment OE constitue la base de ce triangle

De sorte que je peut constituer les six équations suivantes :










avec les six valeurs :







Ensuite je pose l'inconnue il en résulte que j'obtiens quatre égalités :
d(BC) = k.d(AC)
d(AB) = (1-k).d(AC)
d(EF) = k.d(DF)
d(ED) = (1-k).d(DF)

Par ailleurs on peut établir aussi l'égalitée :



mais aussi l'égalité



par ailleurs considerons les hauteurs et on peut poser p et q tels que :
d(OA) =
d(OD) =

par conséquent p = et q =

on obtiens le rapport (?) - raisonnement logique bancal à vérifier -

Par ailleurs j'utilise comme convention la notation pour désigner un vecteur ici le vecteur OB

les vecteurs et ont mêmes direction mais de sens opposés par conséquent :


J'obtiens d(OE).d(OB) cos + d(OE)d(OB) = 0
où désigne l'angle formé par les deux vecteurs et
ici on vérifie : - d(OE)d(OB) + d(OE)d(OB) = 0

posons et

par conséquent = = d(OE).d(OB) cos = - d(OE).d(OB)

on obtiens + d(OE)d(OB) = 0

par ailleurs je peut établir d(OB) = et d(OE) =

Il s'agit alors de résoudre avec les valeurs données d(OA),d(OD),d(OC),d(OF),d(AC),d(DF)
le système de 39 équations :

EQ.1 ->
EQ.2 ->
EQ.3 ->
EQ.4 ->
EQ.5 -> d(OB) =
EQ.6 -> d(OE) =
EQ.7 -> d(BC) = k.d(AC)
EQ.8 -> d(AB) = (1-k).d(AC)
EQ.9 -> d(EF) = k.d(DF)
EQ.10 -> d(ED) = (1-k).d(DF)
EQ.11 ->
EQ.12 ->
EQ.13 ->
EQ.14 ->
EQ.15-16 ->
EQ.17-18 ->
EQ.19 -> + d(OE)d(OB) = 0
EQ.20-21 sous réserve : - raisonnement logique bancal à vérifier - ->

EQ.22 ->
EQ.23 ->
EQ.24 ->
EQ.25 ->
EQ.26 ->
EQ.27 ->
EQ.28 ->
EQ.29 ->
EQ.30 -> d(BC).d(DF) = d(AC).d(EF)
EQ.31 -> d(AB).d(DF) = d(AC).d(DE)
EQ.32 ->

EQ.33 ->
EQ.34 -> d(BA) =
EQ.35 -> d(BC) =
EQ.36 -> + d(BA)d(BC) = 0
EQ.37 -> d(ED) =
EQ.38 -> d(EF) =
EQ.39 -> + d(ED)d(EF) = 0

et les 16 inégalités suivantes :

INEG.1-2 -> 0
INEG.4 ->
INEG.5 ->
INEG.6 ->
INEG.7 ->
INEG.8 ->
INEG.9 ->
INEG.10 ->
INEG.11 ->
INEG.12 ->
INEG.13 ->
INEG.14 ->
INEG.15 ->
INEG.16 ->

Je reviendrai résoudre le systeme ...

[Caesar]

Tu as l'air d'être parti dans un système drôlement complexe, SphinxDeLOblast, je me demande vraiment s'il est possible de le résoudre.


J'ai remarqué une petite coquille, fatal_error, dans le cas particulier où AC et DF sont parallèles, la variable « as » vaut zéro, par conséquent la division suivante est impossible.

[SphinxDeLOblast]

Tu as l'air d'être parti dans un système drôlement complexe, SphinxDeLOblast, je me demande vraiment s'il est possible de le résoudre.


J'ai remarqué une petite coquille, fatal_error, dans le cas particulier où AC et DF sont parallèles, la variable « as » vaut zéro, par conséquent la division suivante est impossible.

( je viens de réediter pour que ce soit plus clair )
Bon pour l'instant je ne releve aucune erreur sur mes 25 equations et ne doute pas de sa résolution même si pour cela on doit resoudre des equations du quatrieme degre (à vu d'oeil comme ça je le suppose mais peut être uniquement du second degré suffira on verra...) seulement c'est un peu long et fastidieux je reviendrai (ce qui compte c'est d'avoir les equations et ce topic peut m'être utile personnellement donc pas de probleme pour mon temps perdu et de fait je te dit donc merci :lol3: )

[Dlzlogic]

@SphinxDeLOblast,
Votre résolution est intéressante, mais elle ne tient pas pour un traitement informatique.
La formule du Héron est très peu utilisée, d'abord parce qu'elle nécessite des calculs longs et peu précis : longueur des côtés de triangles, multiplication de 4 longueurs, racine carré etc. On arrive à un système de 6 ou 7 équations etc. Imaginez cela pour une quantité de points.
Il ne faut pas oublier qu'on est dans un contexte où on doit faire cette opération un très grand nombre de fois, et comme il semble que ces calculs seront faits en mode interprété, ça devient non-réaliste.
Personnellement, je crois que je ne me suis jamais servi de cette formule, d'autres, celle des sinus et celle des cosinus m'ont toujours suffit.

[Dlzlogic]

Tu as l'air d'être parti dans un système drôlement complexe, SphinxDeLOblast, je me demande vraiment s'il est possible de le résoudre.


J'ai remarqué une petite coquille, fatal_error, dans le cas particulier où AC et DF sont parallèles, la variable « as » vaut zéro, par conséquent la division suivante est impossible.

Je vais (méchamment) en rajouter une couche.
Je n'avais pas vu cela, mais ce genre de situation est très préjudiciable en informatique. Si ces droites sont "presque" parallèles, on n'obtient pas d'erreur mais une valeur tellement faible qu'on atteint les limites de précision. Donc dans ce cas, il faut décider avant le calcul si la droite cherchée est l'intersection avec AC et DF ou avec AD et CF. Ce qui conduit aussi au résultat voulu, puisque le but est une interpolation bilinéaire.
Donc, la fonction définitive doit faire le choix, au départ du sens ce calcul. J'avoue, je n'ai pas regardé ce qui se passe si c'est un rectangle.

[SphinxDeLOblast]

@SphinxDeLOblast,
Votre résolution est intéressante, mais elle ne tient pas pour un traitement informatique.
La formule du Héron est très peu utilisée, d'abord parce qu'elle nécessite des calculs longs et peu précis : longueur des côtés de triangles, multiplication de 4 longueurs, racine carré etc. On arrive à un système de 6 ou 7 équations etc. Imaginez cela pour une quantité de points.
Il ne faut pas oublier qu'on est dans un contexte où on doit faire cette opération un très grand nombre de fois, et comme il semble que ces calculs seront faits en mode interprété, ça devient non-réaliste.
Personnellement, je crois que je ne me suis jamais servi de cette formule, d'autres, celle des sinus et celle des cosinus m'ont toujours suffit.

Je vous contredit car au final on obtiendra des équations exactes et donc très précises car elles sont définies par des théorêmes et celui de Héron d'Alexandrie est valable sur le plan puisque c'est l'énoncé.
C'est comme le théorême de Pythagore définitivement valable dans le plan
(bien sûr je précise dans le plan et non pas sur une sphère ou autre...)
Ensuite pour l'informatique elle est très capable de les calculer tout comme elle est capable de calculer des racines d'équations du second, troisieme ou quatrième degré
En fait selon les formules de la résolution de ces équations c'est à dire avec des racines carrées et les fonctions trigo de base :
racine carrée pour les équations du second degré ; Racine carrée, racine cubique, fonctions cos et pour les équations du troisième degré ; Racine carrée, racine cubique, fonctions cos, sin et pour les équations du quatrième degré

Je reviendrai comme promis sauf en cas de disparition bien sûr :lol3:
et d'ailleurs ne posterai rien d'autre tant que j'aurais pas fini

[SphinxDeLOblast]

Salut
Bon alors j'ai commencé a épurer le système et en attendant je vous donne une première simplification qui vous permettra de verifier numériquement pour ceux qui ont choisit cette méthode
ou pour les autres d'essayer de le résoudre (pour ma part je ne sais pas quand j'aurais terminé alors en attendant)
avec les EQ.11-->14 et EQ.22 -->29 j'obtiens :






avec
pour i=1 alors : X = d(OB) , Y = d(OA) , Z = d(AB)
pour i=2 alors : X = d(OB) , Y = d(OC) , Z = d(BC)
pour i=3 alors : X = d(OE) , Y = d(OD) , Z = d(ED)
pour i=4 alors : X = d(OE) , Y = d(OF) , Z = d(EF)

à plus tard ...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Vous calculez des quantités de distances, cela sous-entend 2 carrés et une racine carrée, pour chaque distance.
A moins d'avoir beaucoup de courage, il est impossible de suivre le raisonnement.
Dans votre message précédent vous employez des expressions comme "équation exacte" "très précise".
La formule de Héron conduit à une aire obtenue par le résultat d'une racine carrée. Le produit vectoriel est aussi une aire, mais sans racine carrée. Donc, les deux méthodes ne peuvent pas se comparer sur le plan de la précision.
Donc, sauf le problème posé par le parallélisme des côtés opposés du quadrilatère, la méthode décrite par Fatal_error est certainement meilleure. La démonstration de Doraki conduit à la même équation du second degré.

Peut-être faites-vous allusion à la méthode par itération que j'ai décrite. En matière d'interpolation, ce n'est pas vraiment la précision du mode de calcul qui est la préoccupation principale. D'ailleurs, la précision obtenue dépend qu'un paramètre.
Par ailleurs, c'est la première fois que j'entends dire qu'une méthode par itération est moins précise qu'une méthode strictement analytique.

[SphinxDeLOblast]

Bonjour,
Vous calculez des quantités de distances, cela sous-entend 2 carrés et une racine carrée, pour chaque distance.
A moins d'avoir beaucoup de courage, il est impossible de suivre le raisonnement.
Dans votre message précédent vous employez des expressions comme "équation exacte" "très précise".
La formule de Héron conduit à une aire obtenue par le résultat d'une racine carrée. Le produit vectoriel est aussi une aire, mais sans racine carrée. Donc, les deux méthodes ne peuvent pas se comparer sur le plan de la précision.
.

Salutation
Ok je n'avais pas compris oui effectivement si les calculs demandent d'effectuer des racines carrées ou calculer une fonction trigo ceux-ci demanderons un algorithme par exemple en langage C (on devra appliquer la méthode de newton) tandis qu'une simple multiplication ne demande pas l'utilisation d'un algo
Mais un bon algo calcule rapidement il n'en reste pas moins que la formule est exacte ainsi celui pour une racine carrée ou une fonction trigo n'est pas très contraignant puisque ce sont des fonctions quadratiques on obtiens une première décimale puis deux puis trois puis quatre (déjà au bout de quatre itérations on obtiens les dix premières décimales)
Par ailleurs selon le théorême de Héron on y calcule des hauteurs de triangles donc des distances on retrouve l'utilisation de racine carrée.
Je reviendrai pour afficher les formules mais en attendant je continue d'épurer le système
ici j'obtiens deux equations à partir de EQ.1-->4 et EQ.20-->29 qui me seront utiles :
Sous réserve de la valabilité des EQ.20-21





Bonne année et meilleurs voeux à tous


à plus tard ...

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, vous vous compliquez bien la vie.
Le théorème de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle lorsqu'on connait la longueur des 3 côtés. Cela n'a rien à voir, à ma connaissance, avec la hauteur d'un triangle.

Par ailleurs il ne faut pas perdre de vue la question d'origine qui est de déterminer la droite qui passe par un point et coupe deux segment suivant le même rapport.
Par ailleurs, les deux segment sont souvent parallèles et en tout cas, presque parallèles.

[SphinxDeLOblast]

message supprimé désolé il s'agit d'une erreur de previsualisation
priere de faire supprimer ce message par l'administrateur

[Dlzlogic]

message supprimé désolé il s'agit d'une erreur de previsualisation
priere de faire supprimer ce message par l'administrateur

Apparemment l'original n'est pas perdu, j'en ai une copie.
33 équations, qui dit mieux.
Je pense qu'on a perdu de vue la question posée.
Peut-être à suivre ...

[SphinxDeLOblast]

Apparemment l'original n'est pas perdu, j'en ai une copie.
33 équations, qui dit mieux.

Salut non c'était pour modifier les équations et inégalités de dépard (elles sont affichées en haut de la page)
En fait il s'agit au final de résoudre un système d'équations du quatrième degré
et les racines qui répondent aux conditions de ces 39 équations et 16 inégalités (chiffres définitifs) permettent au final de trouver les segments que l'on recherche.
D'ailleurs il apparaitrai que les deux équations EQ.20-21 (sous réserve)-> soient fausses (je vérifierai plus tard)
le raisonnement logique qui les donne serai faussé

On ne peut rien faire si au dépard on ne pose pas toutes les conditions sinon on risque de se retrouver avec une "coquille" :lol3:
Ce qui est définitif c'est les 39 équations et l'énoncé ci-dessous et là au moins on part sur de bonnes bases

Je pense qu'on a perdu de vue la question posée...

C'est justement la raison pour laquelle j'en profite pour rappeler l'énoncé sous une autre forme (je me suis laissé piégé au début par la simplicité du schéma de Caesar ) mais qui équivaut à la même :

ENONCE
Soient les points quelconques distincts ou pas O,A,B,C,D,E,F et tels que les triplets de points (O,A,C) et (O,A,B) et (O,B,C) et (O,D,F) et (O,D,E) et (O,E,F) forment chacun un triangle

Par ailleurs j'utilise comme convention la notation pour désigner un vecteur ici le vecteur OB
Alors les points O,B,E tels que les vecteurs et ont mêmes direction mais de sens opposés
Alors les points A,B,C tels que les vecteurs et ont mêmes direction mais de sens opposés
Alors les points E,D,F tels que les vecteurs et ont mêmes direction mais de sens opposés

Et enfin tels que l'on obtiens le rapport : BC/AC = EF/DF

Les distances d(OA),d(OD),d(OC),d(OF),d(AC),d(DF) étants données, on recherche les distances d(AB) et d(DE) ou d(BC) et d(EF)

REMARQUE SUR L'ENONCE

on peut énoncer que :
Soient les points quelconques distincts ou pas ... car la suite de l'énoncé interdit que ces points soient quelconques l'avantage de cette formulation est qu'elle permet de s'en tenir au strict minimum définit par l'énoncé de Caesar

Le théorème de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle lorsqu'on connait la longueur des 3 côtés. Cela n'a rien à voir, à ma connaissance, avec la hauteur d'un triangle.

Héron d'Alexandrie a fait mieux :
Le théorême de Héron d'Alexandrie du Ier siecle stipule :
Si a,b,c sont les trois cotés d'un triangle quelconque alors :


est la hauteur de ce triangle en considérant sa base de longueur i et qui est l'un des trois cotés a,b, ou c


est l'aire de ce triangle

avec

C'est aussi la raison pour laquelle j'utilise ce théorême

@+ et dans l'espérance qu'il n'y aura pas de bug... informatique :triste:

PS : Etant donné que j'en aurais besoin j'ai tout intérêt à le faire mais j'essayerai de ne plus poluer le topic tant que je n'aurais pas affiché le résultat tout au plus j'afficherais les équations que je trouve sur le post précédent qui en contiens déjà deux (et encore non finalisées) et ce n'est que lorsque le système sera résolu que je reviendrai

[Dlzlogic]

Bonjour,
Pour le plaisir, voilà la solution géométrique que je présentais, mais que je n'arrivais pas à formuler.
Le quadrilatère ACFD forme un quadrilatère complet.
Soit I l'intersection entre AD et FC.
Les points E et B cherchés sont les intersections entre OI et DF, puis entre OI et AC.
Si AD et FC sont parallèles, le point I est à l'infini, les intersections recherchées sont obtenues avec la parallèle à AD passant par O.
C'est une application de la division harmonique et des faisceaux de droite.
La résolution numérique s'en déduit facilement.
Pour un contexte de traitement informatique, je préfère la méthode d'itération.

[SphinxDeLOblast]

Bonjour,
Pour le plaisir, voilà la solution géométrique que je présentais, mais que je n'arrivais pas à formuler.
Le quadrilatère ACFD forme un quadrilatère complet.
Soit I l'intersection entre AD et FC.
Les points E et B cherchés sont les intersections entre OI et DF, puis entre OI et AC.
Si AD et FC sont parallèles, le point I est à l'infini, les intersections recherchées sont obtenues avec la parallèle à AD passant par O.
C'est une application de la division harmonique et des faisceaux de droite.
La résolution numérique s'en déduit facilement.
Pour un contexte de traitement informatique, je préfère la méthode d'itération.

Salut mais désolé j'en suis encore à mes equations :id:
Dites un peu d'humour(je précise que tant que j'aurais pas fini je fait rien d'autre ici sauf s'il s'agit du crypto et encore...) si vous regardez bien les equations en haut de page vous verrez qu'il en manque :ptdr: mais bon là je corrige pas je donnerai tout le même jour
Merci Caesar je suis coincé ici :zen: