Droites et triangles

[nodjim]

Non, ça marche bien avec ce que j'ai écrit, c'est le 2) lorsque le triangle n'est pas vide. Dans ton cas dessiné, en fait, on a affaire à un triangle existant.
Le triangle rouge rentre dans le cadre: un triangle traversé (le jaune) est détruit et on en recrée un autre (le rouge). Le nouveau triangle est celui qui est à droite sous le jaune et en prolongement du rouge (il forme un papillon avec le rouge).

Plus précisement:
"2) Si d coupe un triangle indépendant de ABC dans la zone Bi2i3, se reporter au début du cas 2) et recommencer"

[Imod]

Bon d'accord , je commence à voir comment tu fais marcher la récurrence mais je ne suis toujours pas tout à fait convaincu , je te tiens au courant de la suite de mes réflexions ( désolé je suis très lent :triste: ) :zen:

Imod

[Imod]

Autre cas :



Imod

[nodjim]

Non, je trouve que tu comprends vite au contraire.
Ce cas est plus subtil mais ne contredit pas l'algorithme: tu dois faire ...demi tour! pour aller chercher le triangle nouveau à droite.

[Imod]

Donc plus de rapport avec la droite (AB) ? Je crois avoir compris ce que tu veux : pas de droite entre d et C , ça doit être possible en changeant au besoin les rôles de d et (AB) . Ton algorithme doit pouvoir fonctionner mais il faudrait que tu précises comment

Imod

[Imod]

Je crois avoir compris ce que tu veux : pas de droite entre d et C , ça doit être possible en changeant au besoin les rôles de d et (AB) . Ton algorithme doit pouvoir fonctionner mais il faudrait que tu précises comment :zen:

Imod

[nodjim]

Je remets l'extrait:
"2) Si d coupe un triangle indépendant de ABC dans la zone Bi2i3, se reporter au début du cas 2) et recommencer."

Donc, recommencer au cas 2) c'est retrouver un nouveau triangle A'B'C'. Et donc, oui, on laisse tomber le premier triangle ABC.
Peut être y a t il une confusion entre le "cas 2)" et le "2ème cas".

Je vais essayer de clarifier ça.

Sinon, c'est toujours le long de d qu'il y a un triangle nouveau.

[nodjim]

Autre cas :



Imod

En fait, ton dessin est trompeur, puisque ABC n'est pas un triangle puisqu'il est déja coupé.

[nodjim]

Une nouvelle formulation plus concise et peut être plus simple encore:

Toute nouvelle droite d crée au moins un nouveau triangle car:
Si d coupe un ou des triangles existants, ceux ci sont modifiés mais préservés. Appelons Td ces triangles modifiés et S l'ensemble des sommets qui n'appartiennent pas à d et qui appartiennent à Td.
Le point d'intersection de 2 droites existantes le plus proche de d, et qui n'appartient pas à S, forme avec d ce nouveau triangle.

[Imod]

J'aime bien ta nouvelle formulation avec un peu moins de cas :we: Un problème quand même : qu'est-ce qui nous permet d'affirmer qu'il existe des sommets n'appartenant pas à d ni à S ?

Imod

[nodjim]

Au moins celui du triangle qu'on a tronqué.

[Imod]

D'accord :++: Et ici on créé un nouveau triangle à partir de B ?



Imod

[nodjim]

D'accord :++: Et ici on créé un nouveau triangle à partir de B ?



Imod

Hum, à vouloir trop simplifier.... :hum:
Peut être, faute de mieux, faut il en rester à la première formulation...

[Imod]

Peut être, faute de mieux, faut il en rester à la première formulation...

Il me semble quand même qu'il faudrait préciser les phrases du genre d coupe un triangle ABC quand il est sous-entendu qu'alors d coupe [CA] , [CB] et [AB) ou encore d va forcément couper (AB) en formant un triangle sans autre indication sur la position ou sur le nom de ce triangle. Ces petites approximations sont assez pénibles car elles nous laissent dans le flou , on ne sait pas vraiment ce qui est admis et il est difficile de confirmer ou infirmer ton résultat .

En l'état je ne suis pas complètement convaincu par ta démo .

Imod

[nodjim]

Tu as raison de douter, je viens de trouver un contre exemple avec 5 droites existantes, la nouvelle droite ne crée aucun nouveau triangle :hum:

[Imod]

Tu peux essayer de le décrire pour que puisse joindre un dessin . J'ai aussi cherché sans trouver :mur:

Imod

[nodjim]

AB horizontale. C sous AB. Dans la zone Bi2i3, à gauche de ABC, on construit avec 2 droites d1 et d2 qui vont former avec AB un triangle de telle sorte que d traverse d1 puis AB. d1 est verticale . d2 coupe d vers la droite en évitant ABC.

[Imod]

Pas compris :triste:

Imod

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,

je propose la rédaction suivante:

on appelle "composante connexe" les composantes connexes
du plan privé des n droites.

la minoration n-2 est une suite arithmétique de raison 1.
Il suffit donc de montrer que lorsque on ajoute
une droite, on ajoute un triangle.

Les intérieurs des triangles (partie bornée) ne sont pas les composantes connexes non bornées puisque deux composantes connexes sont disjointes ou confondues.

Une droite qui coupe un triangle en détruit au plus un
(composante connexe)
et en recrée au moins un (je tiens cette dernière assertion pour évidente)

C'est donc une opération neutre du point de vue de la croissance
du nombre de triangles.

Montrons qu'il y a toujours création, ex-nihilo, d'un triangle
dans une des composantes connexes non bornées.

Si tel n'était pas le cas, la nouvelle droite couperait un seul coté
d'une composante connexe non bornée et serait donc nécessairement parallèle à une autre droite.

(une composante connexe non bornée ne peut pas être un demi plan dès que )

par précaution, on vérifie la propriété pour n=2,3 pour initialiser la récurrence.

[Doraki]

il y a toujours création, ex-nihilo, d'un triangle
dans une des composantes connexes non bornées.

J'ai un contre-exemple sous les yeux.

Par contre peut-être qu'on peut toujours trouver un triangle collé à une composante connexe infinie, retirer la droite qui les sépare, et raisonner par récurrence comme ça.