Cinq triangles semblables

[Imod]

Bonsoir à tous :we:

Un problème que j'ai soumis aux Mathématiques.net ( sans réponse pour le moment )

"Si un triangle est constitué de cinq triangles semblables alors ces triangles ( les cinq petits ) ont un angle de 90° ou un angle de 120°."

Imod

PS : J'ai une référence d'un livre qui traite le problème , je n'ai pas accès à ce livre mais je peux fournir la référence au cas où :zen:

[beagle]

a priori le 90 marche bien.

[Imod]

En effet , c'est le cas ( et le sens ) le plus simple . Le problème est surtout de montrer le caractère nécessaire de la valeur de l'angle 90° ou 120° .

Imod

[Doraki]

Si il y a un point d'où partent 3 arêtes, et qui est donc le sommet de 3 triangles, alors on peut montrer que les 3 angles autour de ce point valent 120°.

Si il y a un point qui est le sommet de 2 triangles tout en étant sur le coté d'un triangle, alors on peut montrer que les deux angles autour du point valent 90°.

Il suffirait donc de montrer que l'une de ces de deux situations doit apparaître dans le découpage d'un triangle en 5,

[Imod]

Tout à fait d'accord mais il y a tellement de possibiliés avec 0 , 1 ou 2 points à l'intérieur du triangle initial .

Imod

[beagle]

Soit partir d'emblée sur des théories générales,
grace à vos capacités théoriques,
genre théorie des graphes,
et en déduire les figures qui marchent.

Soit ambition plus modeste, quelles sont les figures qui marchent,
analyser leurs caractéristiques,
en déduire les contraintes,
s'aider des contraintes pour démontrer par la théorie.

parce que le 90 marche, mais il n'est pas condition suffisante,
tous les 90 ne marchent pas,
enfin sur rapide essai, peut-ètre qu'en y passant des heures.

[beagle]

Pour 90,si un angle du grand triangle est un seul angle petit triangle,
alors les deux autres sont 90 et l'autre angle, si équilatéral pas possible à vérifier.
Alors la somme des carrés longueurs, ...
Ou alors contrainte sur longueur déductibles par théorie des graphes sur nombre de cotés dedans et dehors,...
Mais il semble que les longueurs soient aussi un critère important de faisabilité.
dans l'exemple trouvable rapidement on a un coté a et l'autre 2a.
Donc comment sont les autres soluces?

[beagle]

je n'avais pas bien compris la question hier soir,
on a obligatoirement 90 ou 120,
j'ai cru hier soir qu'on devait trouver lequel 90 ou 120.

Pas regardé avec 120 pour le moment,
faut faire du 2x30 ou du 40-20?,ou les deux marchent?
m'étonnerait que cela soit indifférent et que le 53-7 soit aisé.
Avec le 90 j'avais un grand de 90 et les petits et le grand étaient de coté a-2a,b-2b,cad triangle semblable.
Sur une soluce, et là avec 120, le grand fait du 120 aussi obligatoire?

[Ben314]

Je procèderais bien par l'absurde en distinguant 2 cas et en utilisant les déduction de Doraki :

Cas 1 : un des sommet S d'un des petits triangle est strictement inclu dans le grand triangle.

De ce point, il ne peut pas partir moins de 4 arrètes (c.f. Doraki).
Au moins une de ces 4 arrètes ne va pas sur un sommet du grand triangle (il n'a que 3 sommets !!!)
Elle ne peut pas aller sur un autre point strictement intérieur du grand triangle car sinon, de ce nouveau point il partirait aussi au moins 4 arrètes d'ou au moins 6 petits triangles.
Elle va donc forcément sur un point du coté du grand triangle d'où il part au moins 2 arrètes distinctes du coté du grand triangle (c.f. Doraki)
Arrivé à ce point, on a déjà 5 petits triangles distincts et la seule disposition possible est la suivante :

Or, si on note les angles du petit triangle "central", en utilisant le fait que tout les petits triangles doivent être semblables et que chaque angle doit "faire face" à la même longueur dans chacun d'eux, FAUX (voir post plus loin) on en déduit que doivent aussi se retrouver aux endroits marqués sur le dessin ce qui est contradictoire avec le fait que la somme des angles du grand triangle doit être de 180°.

Cas 2 : les sommets des petits triangle sont tous au bord du grand triangle.

S'il part une arrète d'un des sommets du grand triangle elle doit rejoindre le coté opposé du grand triangle en un point d'où doit partir (au moins) une seconde arrète (c.f. Doraki)...

Les "arêtes rouges" sont interdite du fait qu'elles créeraient un sommet intérieur. Ce cas de figure conduit clairement à une absurdité !!!

Si d'un point situé sur un coté du grand triangle il part deux arrètes conduisant au même coté du grand triangle, on a le même type d'absurdité :


Donc d'un point situé sur un coté du trangle triangle, il ne peut partir qu'exactement 2 arètes qui mênent à des cotés différents du grand triangle. Sauf que cela implique qu'il ne peut pas y avoir plus d'un tel point par grand coté du triangle et cela conduit à couper le grand triangle en seulement 4 petits.

[Doraki]

en utilisant le fait que tout les petits triangles doivent être semblables et que chaque angle doit "faire face" à la même longueur dans chacun d'eux

Comment tu fais cette déduction ? Si les similitudes entre les triangles doivent être directes, c'est vrai, mais si on admet des similitudes indirectes, a priori j'vois pas comment écarter les autres possibilités.

[beagle]

Il n'y a que 3 angles pour le petit triangle,
donc le grand triangle a une association de ces angles.
On suppose une solution existante avec grand triangle constitué de un angle somme de deux angles du petit, ces deux angles sont aussi les deux autres angles du grand triangle,
alors 2x(les deux angles) = 180,
donc somme des deux angles fait 90,
si une telle soluce existe, alors triangle rectangle.

sachant qu'une telle soluce existe, vu que j'en ai trouvé une par terre,
voilà une des causes de 90.
Bon, chacun ses moyens ...pas la peine de se moquer.

[Ben314]

Comment tu fais cette déduction ? Si les similitudes entre les triangles doivent être directes, c'est vrai, mais si on admet des similitudes indirectes, a priori j'vois pas comment écarter les autres possibilités.

Ben, y m'semble bien que, si dans un triangle, "en façe" d'un coté de longueur a, y'a un angle alpha, alors tu peut bien "l'isométriser" comme tu veut (direct ou indirect) y'aura toujours l'angle alpha en façe d'un coté de longueur a.

Perso, c'est pas les isométries indirectes qui m'ont géné dans le raisonnement, c'est plutôt le cas où deux (ou trois) cotés sont de longueur a.
Sauf que ça marche quand même vu que les deux (ou trois) angles en façe sont égaux...

[beagle]

Ben, tu as démontré quoi?

[Ben314]

Il me semble (aux erreurs potentielles prés :zen:) avoir montré que les petits triangles doivent avoir un angle de 90° ou un angle de 120°.

J'ai supposé le contraire et utilisé les "Lemmes Doraki" pour en déduire que de chaque sommet (de petit triangle) strictement intérieur au grand triangle il doit partir au moins 4 arrètes et que, de chaque sommet (de petit triangle) situé sur un coté du grand, il doit partir au moins 2 arrètes (autres que les deux constituant une arrète du grand triangle)

P.S. Par contre, je n'ai pas du tout regardé s'il existait des soluces avec un petit triangle ayant un angle de 90° ou de 120°

[beagle]

ah la vache, t'as fait ça.
et bien si t'essaye de démontrer pareil à un flic que c'est impossible , t'as pas dépasser le 90 ou le 120,
ça marchera pas.
Zetes forts quand mème.

[Doraki]

Je suis pas convaincu..
Sur la figure, l'angle rouge vaut 3pi/17, le vert vaut 4pi/17, et le bleu 10pi/17.
On peut vérifier que le dernier triangle est mauvais, mais faut au moins regarder

Bon comme y'a qu'un nombre fini de configurations à regarder, ça doit pouvoir se vérifier partout même si on trouve pas d'argument qui règle tous les cas en même temps.

[beagle]

Ben:"J'ai supposé le contraire et utilisé les "Lemmes Doraki" pour en déduire que de chaque sommet (de petit triangle) strictement intérieur au grand triangle il doit partir au moins 4 arrètes et que, de chaque sommet (de petit triangle) situé sur un coté du grand, il doit partir au moins 2 arrètes (autres que les deux constituant une arrète du grand triangle)"

j'ai 4 départs d'un point intérieur,OK,
mais par contre j'ai pas toujours deux départs si point situé sur un coté.
tu peux réexpliquer quand on doit avoir ça?

[Ben314]

@Doraki : Je comprend vraiment (mais vraiment) pas quoi c'est que tu comprend pas...
Si tu as deux triangles semblables (directement ou pas) et que tu sait que les longueurs a et a' sont les mêmes alors forcément, les angles alpha et alpha' sont les mêmes !


@Beagle : Deux angles différents du petit triangle ne peuvent avoir une somme de 180° (vu que la somme des 3 vaut 180°)
Donc si deux petits triangles sont cote à cote sur un coté du grand triangle, c'est qu'au point situé sur le coté du grand triangle les deux angles des deux petits triangles sont les mêmes et égaux à 90°

[beagle]

@Beagle : Deux angles différents du petit triangle ne peuvent avoir une somme de 180° (vu que la somme des 3 vaut 180°)
Donc si deux petits triangles sont cote à cote sur un coté du grand triangle, c'est qu'au point situé sur le coté du grand triangle les deux angles des deux petits triangles sont les mêmes et égaux à 90°[/quote]

ah, bah ça va mieux en le disant.
Il y a encore de l'espoir que je comprenne alors.

[Doraki]

Si je prends l'image d'un triangle par une homothétie ou par une réflexion, ça me donne dans les deux cas un triangle semblable à celui d'origine, nan ?

Ou alors j'ai pas compris et on parle de triangles isométriques ?