Nombres automorphes

[Zweig]

Salut,

On appelle "nombre automorphe" tout nombre qui se termine par lui-même quand on l'élève au carré (en base 10). Par exemple, 76² = 5776.
On pose le nombre formé des derniers chiffres de et le nombre formé des derniers chiffres de .

Montrer que et sont les deux seuls nombres automorphes à chiffres en base 10 (excepté les cas limites 0 et 1).

[ThSQ]

On a mais ça doit être loin du compte je pressens ...

[guigui51250]

euh il faut raisonner par absurde? admettre qu'il en existe d'autre puis arriver à une égalité c'est ça?

[Zweig]

On a mais ça doit être loin du compte je pressens ...

En effet ... :++:

[R.C.]

ah, merci bien ThSQ, très bonne remarque. J'en fait une autre : et si on utilisait le th des restes chinois?
PS : ce n'est pas si loin du compte que ca. :++:

[Zweig]

Le "en effet" s'adressait à la remarque de ThSQ, pas au reste de la phrase car cette égalité était l'astuce principale de l'exercice :++: L'exo est à moitié fini.

[Doraki]

le polynôme X²-X a 4 racines dans Z/10Z,
les racines 0 et 1, (qui viennent des racines déjà dans Z),
et puis 5 et 6. (qui sont conjuguées : 5+6 = 1 et 5*6 = 0)

Ensuite, la dérivée de ce polynôme vaut -1 en 5, et +1 en 6, qui sont inversibles (toujours dans Z/10Z).
Grâce à ça on peut étendre les solutions chiffre par chiffre de manière unique pour avoir les solutions dans Z/10^nZ (toujours conjuguées) :
5 -> 25 -> 625 -> 0625 -> 90625 ...
6 -> 76 -> 376 -> 9376 -> 09376 ...

(ça suffit pour dire qu'il y a 4 racines de X²-X dans les entiers 10-adiques).
(oui j'ai la flemme de décomposer 10 en facteurs premiers)

5^(2^n) = 0 mod 5^n (car n <= 5^n)
5^(2^n) = (5 mod 2)^n mod 2^n (car x -> x^(2^n) est de dérivée nulle) = 1 mod 2^n
6^(5^n) = 0 mod 2^n (car n <= 2^n)
6^(5^n) = (6 mod 5)^n mod 5^n (car x -> x^(5^n) est de dérivée nulle) = 1 mod 5^n

donc 5^(2^n) + 6^(5^n) = 1 et 5^(2^n) * 6^(5^n) = 0, donc ce sont bien les solutions.

[R.C.]

Bonjour bonjour,
Je propose une solution. Je ne sais pas trop si c'est la meme chose que la précédente ou pas (je n'ai pas tout compris)

On cherche à résoudre
x^2 = x mod 10^n
ou equivalemment x(x-1) = 0 mod 10^n.
Supposons que x est pair (l'autre cas se fait pareil)
Alors on a x = 0 mod 2^n et x = 1 mod 5^n
car 2^n divise x(x-1) et x-1 est impair, et 5^n ne divise pas x (sinon x aurait au moins n+1 chiffres), donc 5 divise x-1 qui fini donc par un 5 et 5 ne divise pas x.
Maintenant je (ThSQ) remarque que (6^(5^n)/(2^n))*2^n + (5^(2^n)/(5^n))*5^n = k*10^n +1
donc (6^(5^n)/(2^n))*2^n + b*5^n = 1 magnifique relation de Bezout. J'applique ensuite le th des restes chinois et
x = (6^(5^n)/(2^n))*2^n = 6^(5^n) mod 10^n.