Salut,
leanj a écrit:Comment expliquer que 1/2 soit fini et que 1/3 soit infini ?
Juste quelques remarques concernant la formulation de la question :
1) Ce ne sont évidement pas 1/2 et 1/3 qui sont "finis" ou "infinis", mais les écritures décimales (i.e. en base 10) de 1/2 et 1/3 qui peuvent
à la rigueur être vues commes finies et infinies.
2) En fait, 1/2 est un
nombre décimal (alors que 1/3 n'en est pas un) et, comme tout nombre décimal, il admet
DEUX représentations en base 10 :
1/2=0.500000... (représentation propre) ainsi que 1/2=0.4999999... (représentation impropre)
3) Les
deux écritures de 1/2 en base 10 sont infinies : l'une contient une infinité de 0 et l'autre une infinité de 9.
Par convention, on convient souvent qu'on peut ommettre les 0 dans l'écriture "propre" d'un nombre décimal et dans ce cas, effectivement, l'écriture "propre" de 1/2 en base 10 devient "finie" (mais la deuxième écriture de 1/2 reste "infinie")
4) Au niveau purement mathématique, ce coté "fini" ou "infini" de l'écriture de certains nombres en base 10 n'a aucun intérêt particulier vu que cela dépend de la base de numération choisie et que la base 10 n'a absolument rien de remarquable par rapport à tout autre base. (en base 9 par exemple, 1/2 n'admet qu'une seule écriture qui "infinie" alors que 1/3 admet deux écritures dont une des deux est "finie")