Nombres algériques

[Ericovitchi]

Rappelons qu'un nombre algébrique est une racine d'une équation polynomiale à coefficients rationnels.
Il parait que l'on peut démontrer que toute somme de nombres algébriques est un nombre algébrique (il parait que la démonstration est difficile). Admettons ce résultat.

est algébrique (solution de X²-2=0) ainsi que donc aussi.

Ma question est : Donnez le polynôme à coefficients rationnels qui accepte comme solution ?

[Nightmare]

Salut !

Rapidement, je développe le produit des et je trouve x^4-10x²+1.

:happy3:

[Nightmare]

Si la preuve de la stabilité des nombres algébrique par addition t'intéresse, le principe consiste dans un premier temps de caractériser les éléments algébriques a comme les éléments tels que soit de dimension finie sur (assez évident).

Ensuite, tu remarques que . Il reste alors à montrer que est de dimension finie sur Q. Pour ça, Q[a] étant un corps, on peut considérer la dimension de Q[a,b] sur Q[a]. Je te laisse essayer de montrer en exhibant une base bien choisie que

:happy3:

[Ericovitchi]

ha oui OK c'était simple finalement le polynôme, je n'avais pas pensé à multiplier et faire varier les signes.

Après j'ai un peu de mal à suivre. D'abord sur les notations, C'est quoi que tu notes C'est l'ensemble des valeurs engendrées par un nombre algébrique a quand on le mets dans un polynôme à coef dans Q ? ou simplement quand on le multiplies par un rationnel ?
Pourquoi parles-tu de dimensions, c'est un espace vectoriel ?

[Nightmare]

Re,

Q[a] est l'anneau (ici corps) engendré par x, autrement dit c'est l'ensemble des P(a) pour P un polynôme quelconque à coef dans Q.

Si k est un sous-corps de K, K est munit naturellement d'une structure de k-ev. Donc on peut parler de la dimension de K sur k (appelé "degré de l'extension K") !

[Ericovitchi]

Ha oui OK, merci. Je vois à peu près et surtout qu'il faut que je révise sérieusement Gallois si je veux arriver à suivre.

[Ben314]

A la rigueur, tout les arguments que te donnent Nightmare peuvent se voir à un niveau "légèrement" plus bas (bien que totalement identique).

Si a est algébrique, il existe un polynôme à coeff dans Q qui annule a et, si le polynôme est de degrés n, cela signifie qua a^n peut s'écrire en fonction de 1, a, a²,... ,a^(n-1) avec des coeff dans Q.
De même pour b : il existe un m tel que b^m peut s'écrire en fonction de 1,b,b²,...,b^(m+1).
Pour prouver que, par exemple a+b est algébrique, tu écrit les différentes puissances de (a+b) : elles doivent toutes pouvoir s'écrire comme somme à coef dans Q de a^ib^j avec i dans {0..n-1} et j dans {0..m-1}.
Si tu écrit les n*m+1 premières puissances de (a+b) à l'aide des n*m éléments a^ib^j et que tu regarde cela comme un système linéaire d'équations, tu as une équation de plus que de variables donc le système est lié et cela montre qu'il existe une relation entre les (a+b)^k où k est dans {0..n*m}

Exemple : les différentes puissances de peuvent s'écrire uniquement à l'aide de (ici, n=m=2).
Si on écrit les 5 premières puissances :





Les vecteurs sont forcément liés vu qu'ils sont 5 et que l'on est en dimension 4. Il existe donc une combinaison linéaire (à coeff non tous nuls dans Q) de ces vecteurs qui fait (0,0,0,0).
En regardant d'un peu plus prés, on voit que et cela montre que

Bon, évidement, ce n'est pas la méthode la plus simple ici pour trouver le polynôme (celle de Nightmare va bien plus vite), mais elle permet de comprendre que "ça marche à tout les coups" et elle évite de faire appel à la notion de conjugué...

[Ericovitchi]

ha oui super, merci. Effectivement c'est beaucoup plus accessible expliqué comme ça.

[Ben314]

Surtout que quasi "mot pour mot" c'est la même chose que ce que te dit Nightmare, simplement en évitant d'utiliser le vocabulaire adéquat :

Au lieu de parler de et de sa dimension en temp qu'espace vectoriel sur , tu fait directement les calculs en utilisant une famille clairement génératrice, c'est à dire