Droites et triangles

[Imod]

Bonjour .

Un petit problème que je trouve très joli .

On se donne droites dont deux ne sont jamais parallèles et trois jamais concourantes . Ces droites partitionnent le plan en parties dont l'intérieur ne contient aucun point des droites , certaines ne sont pas bornées et les autres sont des polygones . Montrer que parmi ces derniers au moins sont des triangles .

Un exemple avec 4 droites et 2 triangles :



Amusez-vous bien :zen:

Imod

[nodjim]

C'est très simple. Il est demandé de prouver que toute nouvelle droite formera au moins un nouveau triangle.
Je laisse encore réfléchir ceux qui s'y intéressent et qui n'ont pas encore trouvé.
Il n'y a aucun calcul à faire, juste du bon sens.

[Imod]

C'est très simple. Il est demandé de prouver que toute nouvelle droite formera au moins un nouveau triangle.

Tu raisonnes donc par récurrence ! Tu peux détailler ? Personnellement je n'ai pas réussi de cette façon .

Imod

[Zweig]

Oui, c'est le même type de raisonnement pour dénombrer le nombre de régions que forment droites (deux quelconques non parallèles et 3 quelconques non concourantes) est

[nodjim]

Tu raisonnes donc par récurrence ! Tu peux détailler ? Personnellement je n'ai pas réussi de cette façon .

Imod

Je me balade sur une droite tracée, je n'ai encore coupé aucune autre droite et je me dirige vers les intersections. Je dis que si je vois une intersection sur ma gauche par exemple, je suis certain de tracer un triangle sur mon coté gauche.

[Imod]

Tu peux détailler un peu plus , qui se balade ? un point ? une droite ? un segment ?

Imod

[nodjim]

Voici le détail.
Soit un réseau fini de droites existantes d1,d2,d3 ...
On appelera i12 l'intersection de d1 et d2.
s123 le secteur délimité par les droites d1.d2 et d3.
Soit une nouvelle droite c, c comme chemin, car on va la parcourir.
On démarre la promenade depuis l'infini, on n'a encore croisé aucune droite, on va donc les croiser toutes. On peut dire aussi qu'on démarre depuis un point de c en dehors du polygone extérieur formé par les intersections des droites du réseau.
On suppose qu'on est dans le secteur ouvert s12 et qu'on se dirige donc vers ces droites. On suppose que c va couper d2 et que, par exemple d2 est sur notre droite et d1 sur notre gauche. On voit donc i12 sur notre gauche.
Une fois d2 traversée, on va déboucher sur s21c, à savoir en partant de ma gauche, les morceaux de droite 2, puis 1, puis c en retour. On espère voir i1c.
Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a au moins une droite d3 qui coupe d1 et c dans s12c. Notons que d3 ne peut couper d2, sinon d3 aurait été visible depuis s12.
Alors, on est maintenant dans s21c, en fait plus précisement dans s213c. on voit i13.
En traversant d3, on peut espérer voir i1c. Si ce n'est toujours pas le cas c'est qu'il existe d4 et peut être aussi d5 entre d1 et c. Si d4 et d5, on voit donc i45, et on peut espérer en traversant d5 voir i4c.
Etc..
Comme le nombre de droites n'est pas infini, il y aura bien forcément un moment où aucune droite ne viendra s'interposer.
Il est à noter que chaque nouveau point i se rapproche de c.
Il est également à noter que les secteurs sont toujours convexes.

Si, au début de la promenade, on distingue un i à droite et un autre à gauche, on est certain qu'on formera au moins 2 nouveaux triangles.

[Imod]

Il me semble , nodjim , que la construction de ton triangle peut se réaliser en détruisant un autre triangle , ce n'est donc pas nécessairement une création supplémentaire .



Bien sûr on fait apparaître i1ci14i4c mais c'est une autre histoire !

Imod

[nodjim]

Zut, en effet, je n'ai pas pensé aux destructions :hum:
A revoir!

[nodjim]

Quoique le dessin proposé ne correspond pas tout à fait au scénario décrit, car "c" est à l'origine dans s14. Mais, il y a tout de même un problème.

[nodjim]

Seconde tentative.
Si on appelle point le point d'intersection de deux droites, toute droite forme, avec le point le plus proche qui n'appartient pas à cette droite, un triangle.
Comme aucun point, autre que les 3 sommets, ne se trouve sur ce triangle, s'il y a plus de 3 points, les autres points sont extérieurs à ce triangle, et on peut recommencer l'opération tant qu'il y a des points disponibles. Un sommet de triangles peut servir pour 2 triangles.

[Doraki]

On prend une droite au hasard d
Cette droite coupe les (n-1) autres droites, qu'on peut appeler d1, d2 ... d(n-1) dans l'ordre où on trouve leur intersection avec d.

On regarde chaque grand triangle formé par les droites d,di,d(i+1).
Cela nous fait (n-2) grands triangles.
Ce ne sont pas forcément des vrais triangles, vu que des droites peuvent les couper.
Toutefois lorsqu'une droite coupe un triangle, l'un des deux morceaux reste un triangle, donc si on a un faux triangle on peut le diminuer, jusqu'à obtenir finalement un vrai petit triangle.
Et donc il existe un vrai petit triangle à l'intérieur de chacun des (n-2) grands triangles.

[Imod]

Désolé nodjim , je comprends pas ton mode de calcul . Je t'assure que je ne le fais pas exprés :triste:

Imod

[nodjim]

On prend une droite au hasard d
Cette droite coupe les (n-1) autres droites, qu'on peut appeler d1, d2 ... d(n-1) dans l'ordre où on trouve leur intersection avec d.

On regarde chaque grand triangle formé par les droites d,di,d(i+1).
Cela nous fait (n-2) grands triangles.
Ce ne sont pas forcément des vrais triangles, vu que des droites peuvent les couper.
Toutefois lorsqu'une droite coupe un triangle, l'un des deux morceaux reste un triangle, donc si on a un faux triangle on peut le diminuer, jusqu'à obtenir finalement un vrai petit triangle.
Et donc il existe un vrai petit triangle à l'intérieur de chacun des (n-2) grands triangles.

Pas mal, mais ces triangles d,di, d(i+1) ne sont pas forcément indépendants.

[nodjim]

Bon, je détaille pour la deuxième proposition. C'est encore une récurrence.

1er règle:
Si on appelle point le point d'intersection de deux droites, toute droite d forme, avec le point le plus proche de d, un triangle.
2ème règle: quand un triangle est formé, aucun coté de ce triangle n'est commun avec un autre triangle.

Il s'agit maintenant de démontrer que toute nouvelle droite crée au moins un nouveau triangle.

1er cas: la droite ne coupe aucun triangle: voir règle 1)
2ème cas: la droite coupe un triangle.
Soit d cette droite et ABC le triangle. Si d coupe AC en i1 et BC en i2, i1ci2 est un triangle et ABi2i1 devient quadrilatère. il y a destruction et reconstitution d'un triangle.
Si d coupe AB en i3 coté B, Bi2i3 est un triangle nouveau car d'après la règle 2, BC ne pouvait supporter un second triangle.
Cependant, le triangle Bi2i3 n'est peut être pas vide:
1) s'il y a des points dans Bi2i3, voir règle 1, nouveau triangle formé.
2) Si d coupe un triangle indépendant de ABC dans la zone Bi2i3, se reporter au début du 2ème cas et recommencer.
3) Si Bi2i3 vide, ou simplement traversé de droites sans points, on crée aussi un nouveau triangle.

[Imod]

Tu vas me haïr nodjim mais je ne comprends pas comment ta stratégie fonctionne , par exemple sur le dessin joint :



Désolé pour le boulet :briques:

Imod

[nodjim]

Non, au contraire, je vois qu'au moins je me fais comprendre. :id:
Sinon, je ne vois pas en quoi ton dessin est en contradiction avec ma démo. :doh:

[Imod]

Ce que je voulais dire c'est que si j'ai bien compris ta méthode , en appliquant la 1ère règle on trouve le triangle vert au lieu du bleu :doh:



Imod

[nodjim]

Non, c'est bien le triangle bleu qui est créé. J'ai apporté une précision à la toute dernière phrase de la démo. Je l'avais bien en tête mais ne l'ai pas mentionné.

[Imod]

Un contre-exemple à ta construction si je ne m'abuse :



Imod