Triangles imbriqués

[Ben314]

Je trouve que la rapport max. est (de nouveau) 2/3 avec un centre de rotation qui est (de nouveau) le centre de gravité..... :



Evidement je conjecture que....

P.S. sauf que j'ai fait ça tel le bourrin avec du calcul donc que
1) ça risque d'étre faux...
2) il y a FORCEMENT plus joli (surtout si la conjecture est vraie)

[nodgim]

Tente avec un triangle plus plat, tu verras que les 2/3 ne sont pas satisfaits.

[Ben314]

OkOkOk, je m'est gourré : pour le 180 degrés, on a à faire à un demi tour et on n'a pas besoin de la structure euclidienne => on peut supposer que le triangle est un demi-carré.
Pour le 90 degrés, les rapports de surfaces sont toujours autant conservé par les applications affine bijectives MAIS pas la rotation de 90 degrés !!!
(i.e. si je déforme mon dessin, j'aurais toujours le fameux 2/3 mais les triangles ne seront plus l'image l'un de l'autre par une rotation d'angle 90 degrés)

Ca rend tout de suite le problème nettement plus épineux et le rapport max risque fortement de dépendre de la forme du triangle de départ....

P.S. l'objectif (dans un premier temps) c'est plutôt de déterminer pour quel triangle on a un rapport trés grand ou de déterminer le rapport max pour un triangle donné ?

[nodgim]

P.S. l'objectif (dans un premier temps) c'est plutôt de déterminer pour quel triangle on a un rapport trés grand ou de déterminer le rapport max pour un triangle donné ?

C'est seulement de déterminer l'emplacement des 2 triangles pour que le recouvrement soit max.

[Ben314]

J'ai fini par faire un gros calcul bourrin dans le cas d'un triangle rectangle de cotés a et b (pour le pb avec un quart de tour).
Si je me suis pas trompé, le meilleur rapport surface_intersection/surface_triangle est : 2ab/(a²+ab+b²) [au max 2/3 si a=b]
Il est obtenu à l'aide d'une rotation de centre C de coordonnées (Xc,Yc) où
Xc = Yc = ab(a+b) / (2(a²+ab+b²))
Sauf que je vois pas à quoi correspond ce point...

[Ben314]

J'viens de réagir à un truc tout con :
Si on prend deux triangles (pas forcément isométriques) qui se chevauchent :

Si on translate le triangle bleu d'un tout petit vecteur , la variation de surface est équivelente (au sens analyse) au déterminant ce qui signifie que pour trouver les extrémum de la fonction surface, il faut chercher les positions telles que (ce qui équivaut évidement à )

J'ai pas encore regardé ce qu'on pouvait en faire (ni si ca permet de mieux voir dans le cas des demi tours...)

Bon, évidement, il y a des petits soucis de différentiations lorsqu'un des sommets d'un triangle est sur un coté de l'autre....

[nodgim]

A peu près de cette manière, j'en étais arrivé à la conclusion que la partie commune aux 2 triangles se construit autour du plus grand carré inscrit dans ce triangle.

[Ben314]

J'ai fini par trouver un procédé géométrique (règle compas) pour déterminer la position vérifiant (pour deux triangles quelconques) mais (évidement), ce n'est le max que si les cotés des triangles sont "bien disposés" les uns par rapport aux autres.
Je l'ai implémenté sur un programe de géométrie (GéoLabo) sous forme d'une macro et j'ai procédé à des essais avec pour le deuxième triangle l'image du premier par une rotation.
Le centre de la rotation qui envoie le premier triangle sur le "maximum" part, lorsque l'angle est quasi nul, du centre du cercle circonscrit du triangle, puis, quand l'angle augmente, il semble suivre une droite (non, ce n'est pas la droite d'euler...) ???