Fonctions pas continues

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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Sake
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Fonctions pas continues

par Sake » 19 Déc 2015, 11:33

Bonjour,

J'ai vu l'énoncé (que j'ai traduit de l'anglais vers le français) suivant sur le net :

"Soit f une fonction de R dans R, telle que pour tout a dans R, il existe x1 et x2 réels distincts qui satisfont f(x1) = f(x2) = a. Montrer que cette fonction ne peut pas être continue".
Je dois me tromper mais j'arrive à intuiter une fonction telle que la condition ci-dessus soit remplie et qui soit continue en même temps. Par exemple, découpons R (ensemble image) en intervalles finis de type [a0,a1], ]a1,a2[, etc. de manière alternative. Nous effectuons donc une partition de R avec une infinité d'intervalles successivement ouverts puis fermés.
Débrouillons-nous pour que f croisse puis redescende sur chaque intervalle [a0,a1] afin d'intercepter chaque réel de cet intervalle deux fois exactement. Ensuite, f croît à nouveau pour faire le même travail dans ]a1,a2[ (cette fois-ci f n'a pas besoin d'atteindre les valeurs a1 et a2 quand f change de monotonie, car ces valeurs sont prises lorsque f décrit les intervalles fermés), et bis repetita.
De cette manière, pouvons-nous trouver une fonction continue sur R mais qui, pour chaque réel de son ensemble image peut trouver au moins deux antécédents distincts ?



G.Renault
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par G.Renault » 19 Déc 2015, 12:14

Bonjour,

Tel que l'énoncé est posé, il n'est pas nécessaire que la fonction possède deux antécédents exactement : elle peut en posséder plus.

Débrouillons-nous pour que f croisse puis redescende sur chaque intervalle [a0,a1] afin d'intercepter chaque réel de cet intervalle deux fois exactement. Ensuite, f croît à nouveau pour faire le même travail dans ]a1,a2[

Si f croit puis décroit pour décrire deux fois l'intervalle [a0,a1], elle se trouve en a0 puis en a1 puis en a0 et doit donc remonter pour obtenir ses valeurs dans ]a1,a2].
Des réels de [a0,a1] ont donc trois antécédents et non deux.

P.S. : j'ai dit une bêtise... Merci mathelot !
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mathelot
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par mathelot » 19 Déc 2015, 12:25

est ce un contre-exemple ?

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Ben314
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par Ben314 » 19 Déc 2015, 14:41

A mon avis, le "bon" énoncé, ça pourrait être :
Soit f de R->R une fonction telle que, pour tout réel l'équation admette exactement deux solution.
Montrer que f ne peut être continue.

Et c'est assez simple...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Matt_01
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par Matt_01 » 19 Déc 2015, 16:26

Il existe u et v tel que f(u)=f(v)=0.
Si on suppose que f est continue, il existe un extremum m sur [u,v] atteint une seule fois (s'il est atteint deux fois en a et b, on repasse par des valeurs qui ont déja été prises deux fois sur [a,b]). Et alors f([u,v]) est un intervalle de valeurs prises 2 fois, sauf pour m, qui contient 0.
On suppose que m>0. Si x>v. Alors f(x) > 0 implique f([v,x]) contient [0,f(x)] et donc un élément inférieur à f(x) et m serait visité au moins une troisième fois : impossible. De même si xLe cas m<0 est similaire.

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Sake
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par Sake » 19 Déc 2015, 19:30

mathelot a écrit: est ce un contre-exemple ?

Clairement, l'énoncé est donc faux au sens où il est posé dans mon message initial, comme l'a dit Ben Kenobi.
Merci vous tous

godzylla
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par godzylla » 20 Déc 2015, 04:26

une fonction n'est pas définisable par sanon continuité , c'est un pbm d'un autre ordre qui m'eriterais une reforme du programme au college.

f(x1) = f(x2) = a
x1 et x2 ont des implications a etre réel?

si j'ecoute ben314 il n'existe pas de fonction sur R qui admette deux solutions.

R;) peut etre projeté sur R

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Sake
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par Sake » 20 Déc 2015, 13:18

godzylla a écrit:une fonction n'est pas définisable par sanon continuité , c'est un pbm d'un autre ordre qui m'eriterais une reforme du programme au college.

f(x1) = f(x2) = a
x1 et x2 ont des implications a etre réel?

si j'ecoute ben314 il n'existe pas de fonction sur R qui admette deux solutions.

R;) peut etre projeté sur R

??? C'est quoi ce délire ?

MouLou
Membre Rationnel
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par MouLou » 23 Déc 2015, 17:27

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