Problème de probas continues

[Bastien L.]

Bonsoir à tous!


Voici un problème qui nécessitera sans-doutes quelques développements intéressants. C'est pour cela que je le place ici.

Je le présente de façon peu ordonnée, on verra bien…

Aujourd'hui, cours sur les probas continues en T.S. Exemple efficace pour aborder le sujet: on fait tourner à l'horizontale une cuillère et on mesure l'angle qu'elle fait à l'immobilisation avec une origine des angles préalablement choisie. Après les explications conventionnelles, le professeur vient à lancer cette affirmation: "De même que la probabilité que les angles pi ou 5pi/6 soient atteints est nulle, la probabilité que l'angle en question soit un rationnel est nul. Car entre deux rationnels il y a toujours un irrationnel. De même, la probabilité qu'il soit un irrationnel est nulle.". Et, là, pour moi, ça coince. L'argument me semble trop faible. Il me semble que pour pouvoir statuer là-dessus il faut au moins se pencher sur des choses telles que les travaux de Cantor à propos des infinis de "tailles" différentes. Et puis, l'angle est forcément soit rationnel soit irrationnel, donc il y a partition, et, par somme des probalités, on doit trouver 1. De plus, les rationnels dans l'intervalle des possibles - tout comme les irrationnels - ne sont pas représentés en un très grand nombre fini, mais sont une infinité. Même si les rationnels ne forment jamais de "segments", il me semble que du fait de l'infinité on est quand-même plus proche d'un intervalle que d'un ensemble d'objets discrets… Il y a donc deux problèmes en un: Que nous disent les travaux de Cantor & cie sur les "tailles" respectives de l'infinité de rationnels et de l'infinité d'irrationnels pour un intervalle de réels borné? Ensuite, est-ce que cela a une importance pour répondre à la question initiale, à savoir la probailité que l'angle atteint soit un rationnel? Que dire du point de vue de la partition? Etc.

J'espère avoir des réponses rapidement, car j'ai cours de maths demain à huit heures… ;-) Et puis, ce problème m'intéresse beaucoup, voire me tracasse… ^^


Voilà! Merci!

[ffpower]

hum,ce prof dit n importe quoi en effet.La probabilité que l angle soit rationnel est nulle car l ensemble des rationnels est dénombrable(et pas parce qu entre 2 rationnels,ya je ne sais quoi..).Quand a la probabilité que l angle soit irrationnel,c est 1 par l argument que tu as expliqué(additivité de la probabilité).Un tel mic-mac d explication foireuses et d affirmations fausses,c est vraiment scandaleux de la part d un prof..(a moins que t aies mal compris ce qu il disait,mais ca m etonnerait que t aies pu inventer comme ca des affrosités pareilles..)

J espere ne pas avoir repondu trop tard,mais en tout cas n hesite pas a aller dire 2 mots a ton prof(probablement pas agrégé...).Sinon,si t as besoin de plus d explications(histoire de bien lui rabttre son caquet),n hesite pas a demander..

[Bastien L.]

Bon, restons prudons, j'ai pu mal comprendre… On verra demain… Enfin, il a bien parlé du fait qu'entre deux rationnels il y a toujours un irrationnel. Mais bon, pour le reste, attendons, de toutes façons, je ne viens pas faire le procès du prof mais essayer d'approfondir un problème qui m'interpelle…

Bref, à part ça, ça fait bizard de se dire que est dénombrable…


P.-S.: Une erreur, ç'arrive à tout le monde, et plus le professeur essaie de nous faire découvrir des champs larges, plus il essaie de nous montrer le vrai bonheur des mathématiques, et plus il s'y expose. D'autres professeurs, plus scolaires, n'auraient pas fait d'erreur, puisqu'ils n'auraient pas abordé le problème, et moi je ne sentirais pas alors la nécessité de fréquenter des forums dédiés aux maths…

[kazeriahm]

Salut,

ce sont des questions fondamentales et très interessantes !
La probabilité de tomber sur un rationnel est bien nulle tandis que la probabilité de tomber sur un irrationnel est 1 (si la facon de tirer des angles correspond est bien uniforme, au sens ou on "mesure" avec la "mesure uniforme"). La mesure de Lebesgue de l'ensemble des rationnels Q (autrement dit la probabilité uniforme de tomber dessus) est 0, cela est du au fait que Q est dénombrable (on peut compter ses éléments).

Q et R\Q sont infinis mais il y a moralement beaucoup plus d'éléments dans R\Q que dans Q. Par exemple on sait que racine(2) est irrationnel. Tous les éléments racine(2)+r sont des irrationnels. En effet si ils étaient rationnels, c'est à dire si racine(2)+r=s avec r et s rationnels, alors racine(2)=s-r est rationnel. Ceci marche pour tous les irrationnels (pas seulement racine(2)).
Donc en gros R\Q contient plein de fois Q.

Par ailleurs, tu as raison quand tu dis que la probabilité totale vaut 1 donc la somme des probabilités de la partition vaut 1.

EN ésperant avoir été clair.

[kazeriahm]

Pour te montrer que Q est dénombrable http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./d/denombrable.html

C'est une démonstration très belle et très connue. Regarde aussi pourquoi R n'est pas dénombrable.

[ffpower]

apres reflexion,tu as p-e pu t embrouiller dans les dires du prof si il a tenter d expliquer un truc du genre:entre 2 angles rationnels,ya toujours un angle irrationnel,et entre 2 angles irrationnels,ya toujours un angle irrationnel.Donc on pourrait etre tenter de croire que les rationnels et les irrationnels sont aussi gros l un que l autre et que la probabilité que l angle soit rationnel et la meme que la proba qu il soit irrationnel.et pourtnat paradoxalement(bon ya rien de paradoxal en fait),ces 2 probas sont differentes(0 pour les rationnels,1 pour les irrationnels).
Ca doit etre un truc comme ca en fait qu il a du expliquer(j espere en tout cas..)

[Bastien L.]

Non non, ce n'était pas ça, il a fait une petite erreur en abordant "à froid" des choses dont on ne parle pas habituellement, et est allé un peu vite. Il est revenu dessus aujourd'hui. No problem! Ca m'aura permi de savoir que l'ensemble des irrationnels est indénombrable alors que celui des rationnels ne l'est pas, et de creuser un tout petit peu les notions d'infinis, de dénombrabilité, de probabilités continues, bref, tout bénef… :we: Il a même ajouté que, pour d'autres raisons, la probabilité d'avoir un nombre algébrique est nule, et que celle d'avoir un nombre transcendant vaut 1. C'est intéressant! Mais, pour une raison que je n'arrive pas à trouver, il m'a formellement proscrit de m'y consacrer (à ce dernier problème) avant deux mois et demi… :-S lol

[ffpower]

Soit..L ensemble des nombres algebriques est en effet de proba nulle lui aussi,mais c est pas pour d autres raisons:en effet,l ensemble des nombres algebriques est lui aussi dénombrable...

[Bastien L.]

Cool! Juste par parenthèse (promis, M.D.…), ça se démontre comment…?