Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[raito123]

Personnellement, j'ai besoin d'un argument arithmétique.

C'est sur le post qui précéde

[leon1789]

On suppose un diviseur premier de d dont la forme est 4k+3 si alors donc p_i va diviser d et d+1 absurde ( oui un troisiéme absurde dans la démonstration )

ok, donc tu démontres en fait que ce n'appartient pas aux premiers déjà connus ?

[raito123]

ok, donc tu démontres en fait que ce n'appartient pas aux premiers déjà connus ?

Oui :we: !!

[leon1789]

Oui :we: !!

:we: et tu n'as pas l'impression d'avoir trouvé un moyen de produire un nouveau nombre premier, et de rejoindre ainsi la preuve directe (qui consiste à passer d'un stock de nombres premiers de la forme 4k+1 à un stock de ) ?
C'est pourtant ce que tu as fait ! ...et c'est juste enfoui dans ta rédaction :we:
Tu es d'accord ?

[raito123]

Si tu veux mais moi j'ai démontrer que ce que j'ai supposer au début est faux !!

En fait je n'ai jamais dit qu'il y a une divergence entre les deux types de raisonnement et on revient toujours au même point :

Toi tu montres : n premiers => n+1 premiers

Et moi je suppose que A est fini => contradiction => ce que j'ai supposé est faux !!

( dis je me suis bien éxprimer ?)

[leon1789]

On est d'accord sur le fait qu'il n'y a pas de divergence significative.

Si tu veux mais en fait j'ai démontrer que ce que j'ai supposer au début est faux !!

Mais je te pose encore une petite question :we: :
est-ce que ton hypothèse initiale sur la finitude de A ne sert pas uniquement à la fin pour obtenir une contradiction ? Autrement dit, cette hypothèse initiale serait-elle uniquement là pour obtenir une contradiction au final ?

...si tu n'avais pas d'hypothèse au début, ta preuve fonctionnerait tout pareil, et à la fin il y aurait pas de contradiction, mais tu prouves quand même le résultat demandé !
Tu vois ce que je veux dire ?

( dis je me suis bien éxprimer ?)

ben oui, pourquoi ?

[leon1789]

Mais je te pose encore une petite question :we: :
est-ce que ton hypothèse initiale sur la finitude de A ne sert pas uniquement à la fin pour obtenir une contradiction ? Autrement dit, cette hypothèse initiale serait-elle uniquement là pour obtenir une contradiction au final ?

...si tu n'avais pas d'hypothèse au début, ta preuve fonctionnerait tout pareil, et à la fin il y aurait pas de contradiction, mais tu prouves quand même le résultat demandé !
Tu vois ce que je veux dire ?

C'est comme si, pour démontrer A => B, on disait :

... => ... => B. Or on a supposé non B, donc contradiction. Donc B est vrai. Conclusion A => B >>

Et là, je remarque qu'on démontre deux fois le résultat, puisque dans la preuve par l'absurde de A => B, on a la preuve directe de A => B !!

[raito123]

Mais je te pose encore une petite question :we: :

ça fait 3 questions ( deux si on dit qut t'as seulement reformuler la premiére :ptdr: :ptdr: )

est-ce que ton hypothèse initiale sur la finitude de A ne sert pas uniquement à la fin pour obtenir une contradiction ? Autrement dit, cette hypothèse initiale serait-elle uniquement là pour obtenir une contradiction au final ?

Oui pour tout !!

...si tu n'avais pas d'hypothèse au début, ta preuve fonctionnerait tout pareil, et à la fin il y aurait pas de contradiction, mais tu prouves quand même le résultat demandé !
Tu vois ce que je veux dire ?

Oui tout à fait d'accord !! Et oui je vois ce que tu veux dire :we:

ben oui, pourquoi ?

Non pour rien :lol3:

[leon1789]

ça fait 3 questions ( deux si on dit qut t'as seulement reformuler la premiére :ptdr: :ptdr: )

:we:

Oui tout à fait d'accord !! Et oui je vois ce que tu veux dire :we:

ok.

Ce que je constate assez souvent (pas toujours), c'est qu'une preuve par l'absurde contient en elle, plus ou moins cachée, une preuve directe ou une preuve par contraposée.
Voilà :zen:

A+ :dodo:

[raito123]

C'est comme si, pour démontrer A => B, on disait :

... => ... => B. Or on a supposé non B, donc contradiction. Donc B est vrai. Conclusion A => B >>

Et là, je remarque qu'on démontre deux fois le résultat, puisque dans la preuve par l'absurde de A => B, on a la preuve directe de A => B !!

Oui je vois ce que tu ce que veux dire mais parfois avec l'absurde ( qui peut aussi ne pas se schématiser comme tu as fait) on trouver le résultat recherché plus vite et d'une maniére plus "chic" !!( et économique comme tu avait dit )

Et puis si on reprend ton schema : alors y a aucun mal à utiliser l'absurde , non?

[raito123]

:we:




Ce que je constate assez souvent (pas toujours), c'est qu'une preuve par l'absurde contient en elle, plus ou moins cachée, une preuve directe ou une preuve par contraposée.
Voilà :zen:

A+ :dodo:

Oui t'as raison sur le point qui dit : A+ :dodo: :lol3:

Donc @++

( Bon ok je suis d'accord aussi sur l'autre point de vue mais là j'ai vraiment envie de faire dodo d'où ma réaction lol ! a++)

[leon1789]

Oui je vois ce que tu ce que veux dire mais parfois avec l'absurde ( qui peut aussi ne pas se schématiser comme tu as fait) on trouver le résultat recherché plus vite et d'une maniére plus "chic" !!( et économique comme tu avait dit )

ok

Et puis si on reprend ton schema : alors y a aucun mal à utiliser l'absurde , non?

ben quand même, prouver deux fois le même résultat dans une seule preuve, c'est un peu tordu de faire ça.

Allez dodo ! :dodo:

[raito123]

Allez dodo ! :dodo:

Aha :lol4:

[ThSQ]

Mais ce que je veux dire, c'est qu'il est bon de ce forcer à ne pas à abuser (à ne pas rédiger) de preuve par l'absurde tant que faire se peut... Cela ne relève pas de l'axiomatique, c'est plutôt "méta-mathématique" et expérimental. (Bon là, ça y est, je suis classé dans la catégorie des "fou à lier" :ptdr: )

On est d'accord, tout comme il est bon de se forcer à ne pas abuser de la preuve directe :ptdr: surtout quand elle est une reducio ad absurdum simplement retournée :lol5:

[leon1789]

On veut montrer p => q.

On fait par l'absurde : p et non(q) => q1 => ... => qn faux.

"démo sans absurde" : toute le monde sait que non(qn) est vrai, donc non(q(n-1)) est vrai donc ..... à aucun moment on a prononcé l'ignominieux "par l'absurde" mais c'est du pareil au même pour moi, sauf qu'on a sorti du chapeau q(n) qu'on ne peut trouver qu'en faisant la démo par l'absurde.

Dans la preuve de l'irrationalité de (qui n'est pas du type "A => B", mais du type "On a B"), dans la preuve directe, il n'y a pas d'hypothèse privilégiée de point de départ (contrairement à au raisonnement par l'absurde qui part forcé de non B). Donc il faut bien commencer par une phrase vraie. On peut penser que cette première phrase est balancée du chapeau...
Personnellement, j'ai commencé par présenter la notion de valuation en 2 : c'est ça en réalité le coeur du problème dans cette histoire de . Je ne suis pas certain qu'après avoir fait une preuve par l'absurde mélangeant des trucs justes et des trucs faux, mettant au même niveau différents faits, on ait forcément les idées claires sur la situation...

Evidemment, tout le monde voit bien pourquoi n'est pas rationnel car la preuve est simple. Mais dans des situations plus complexes, où la preuve par l'absurde est longue, il n'est pas évident de faire la part des choses et d'extraire de la preuve par l'absurde des résultats justes et "fondamentaux".

[leon1789]

On est d'accord, tout comme il est bon de se forcer à ne pas abuser de la preuve directe :ptdr: surtout quand elle est une reducio ad absurdum simplement retournée :lol5:

Le problème est de savoir qui est le retourné de qui ? (je vais donner un exemple ci-dessous : lemme d'évitement des idéaux premiers...)

Si encore une preuve retournée est simple à lire, je ne vois pas pourquoi s'embêter à écrire >
(un peu comme une hérédité démontrée sans utiliser l'hypothèse de récurrence)

Je préfère lire une preuve qui coule bien, lire des choses justes, sans surabondance d'hypothèses et de détours (je crois que c'est un peu ça les maths). Or d'entrée de jeu, le raisonnement par l'absurde ajoute une hypothèse, et qui plus est, rend "incohérent en elle-même" la suite de la preuve jusqu'au moment où l'incohérence est détectée.

[abcd22]

Sur ces petites démos rapides, c'est difficile de faire ressortir des différences (si ce n'est l'aspect algorithmique théorique que la preuve directe propose). Arf...

L'aspect « algorithmique » est aussi dans la preuve par l'absurde.

[leon1789]

L'aspect « algorithmique » est aussi dans la preuve par l'absurde.

De manière générale, c'est impossible, car tout ce qui est écrit dans une preuve par l'absurde est sujet à caution (puisque la preuve amène à une contradiction) : algorithmiquement, on ne peut pas rien faire du contenu d'une preuve par l'absurde si on laisse la preuve telle que !
(idem pour un résultat obtenu par un raisonnement par l'absurde)

Mais tu as quand même raison pour l'exemple en question (et c'est peut-être même souvent le cas dans bcp de preuve par l'absurde de choses qui existent) : c'est justement en tirant l'algorithme caché dans la preuve que l'on écrit une preuve directe (avec un algo théorique). Non ?

[ThSQ]

De manière générale, c'est impossiblec'est justement en tirant l'algorithme caché dans la preuve

Faudrait savoir

[leon1789]

Je crois que, des fois, on a tendance à dire qu'une propriété ou une preuve P' est la retournée d'une autre propriété ou preuve P juste parce qu'on a vu P en premier...
C'est un peu comme si on disait que le premier jet est toujours le jet réussi...

(...) si j'ai « A et B => C » dans mon cours, le jour où je dois montrer non B et que ce n'est pas trop dur de montrer A et non C je suis censée être capable d'utiliser mon cours pour en déduire non B sans qu'il soit nécessaire d'écrire explicitement cette implication dans le cours, si on commence comme ça on va aussi s'amuser à écrire les contraposées de toutes les propositions qu'on démontre, ça peut être intéressant de réfléchir à ce genre d'équivalences à titre d'exercice mais ça ne vaut pas le coup de tout écrire dans un cours/livre, les élèves sont censés réfléchir un peu par eux-mêmes et savoir comment passer d'une proposition à sa contraposée.

Imaginons que l'on fasse un cours dans lequel on énonce le lemme ci-dessous. Comme il y a deux versions, et qu'on ne va passer son temps à énoncer tout en double (je le concède), il faut donc choisir une des versions. La (1) ou la (2) ? Pourquoi ?

On se place dans un anneau commutatif .

On dit qu'un idéal évite un ensemble lorsqu'il existe un élément de qui n'est pas dans .

Lemme d'évitement des idéaux premiers (version 1)
Si I est évite un nombre fini d'idéaux premiers alors I évite leur union .

Lemme d'évitement des idéaux premiers (version 2)
Si I est inclus dans l'union d'un nombre fini d'idéaux premiers alors I est inclus dans l'un des idéaux .

Déjà, il faut voir que ces deux formes sont contraposées l'une de
l'autre. Il y en a-t-il une qui est la retournée de l'autre ?
...cela a-t-il un sens ?...


Une preuve de la version (1)

Il suffit de trouver un élément qui évite les p_i les "plus gros". Parmi
les p_i, on ne retient donc que les "plus gros".

On peut alors choisir des éléments .
Soit
L'intérêt de est qu'il a appartient à tous les sauf (car premier).

De même il existe des .
Le produit appartient alors à et tous les sauf (car premier).

Enfin, la somme appartient à , mais à aucun des (car pour chaque , tous les produits , sauf 1 et 1 seul, appartiennent à ).

Que pensez-vous de cette preuve ?
Qui fait une preuve par l'absurde de la version 2 ? (une preuve qui ne
contienne pas la preuve ci-dessus...)
Et pour un cours, comment choisiriez-vous la version énoncée ?