Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[leon1789]

Est-ce que tu admets le principe du tiers exclu Léon ? Probablement que oui ...

Bon, si oui, tout raisonnement par l'absurde se retourne en un raisonnement direct !

Je suis d'accord avec ce que tu dis. Mais ce que je pense ne relève pas de l'axiomatique. Les matheux qui acceptent le tiers exclu ne peuvent pas refuser logiquement la preuve par l'absurde.

Mais ce que je veux dire, c'est qu'il est bon de ce forcer à ne pas à abuser (à ne pas rédiger) de preuve par l'absurde tant que faire se peut... Cela ne relève pas de l'axiomatique, c'est plutôt "méta-mathématique" et expérimental. (Bon là, ça y est, je suis classé dans la catégorie des "fou à lier" :ptdr: )

[leon1789]

Un texte très intéressant à lire (et à relire à tête reposée) : http://hlombardi.free.fr/publis/RPA.pdf

Oui, un texte à lire tête très reposée :we:
Il y a preuve directe, par l'absurde, et de l'absurde...

(Lombardi)
Enfin, il est des cas où, apparemment, on ne sait pas établir un fait de nature positive autrement qu'en réduisant à l'absurde l'hypothèse selon laquelle le fait en question serait faux. Ce sont là les vrais raisonnements par l'absurde. C'est souvent selon cette méthode qu'ont été établis, au moins en un premier temps, les "théorèmes d'existence" modernes depuis Cantor et Hilbert.

Henri Lombardi est un constructiviste, il refuse catégoriquement l'utilisation du tiers exclu et axiome du choix, et toutes les conséquences : par exemple, pas de raisonnement par l'absurde, pas de lemme de Zorn, pas d'idéaux maximaux, etc. Et pourtant, il y a pas mal de publications en algèbre : preuve que l'on peut faire des maths sans tiers exclus.

Mais moi, je ne suis pas un "extrémiste" comme lui : en algèbre, les idéaux maximaux sont un outil puissant, et j'accepte de raisonner avec eux. Mais il est vrai que parfois, ils cachent des choses de très bas niveau... Je suis ne suis pas contre les théorèmes d'existence, mais une preuve directe aura le charme de donner une méthode (théorique tout au moins) de calcul du résultat.

[_-Gaara-_]

Juste de passage pour dire que je trouve la démonstration par l'absurde très subtile et du coup très jolie =)

Elle implique un réel recul sur une question donnée et c'est avec ça qu'on reconnait le bon du très bon mathématicien :++:

[leon1789]

Juste de passage pour dire que je trouve la démonstration par l'absurde très subtile et du coup très jolie =)

Elle implique un réel recul sur une question donnée et c'est avec ça qu'on reconnait le bon du très bon mathématicien :++:

ok. Je pense presque le contraire :we: mais là, c'est de la polémique.

[_-Gaara-_]

ok. Je pense presque le contraire :we: mais là, c'est de la polémique.

Disons que la démonstration par l'absurde est la Tsar Bomba des mathématiques ^^ pour mettre tout le monde d'accord :we:

[leon1789]

Tu peux me montrer avec une preuve directe que la forme 4p+3 contient un nombre infini de nombres premiers ?

En fait, je connaissais la preuve... mais je l'avais oubliée.

Soit l'ensemble des premiers congrus à , et l'ensemble des premiers congrus à . On va montrer que est infini.

On considère éléments de , disons . Le nombre est congru à . Ecrivons sa décomposition primaire :

Comme , on a . Or , donc il existe un élément dans . Cet élément divise , donc est étranger à tous les , c'est donc un (n+1)-ième nombre premier congru à . Par récurrence, est infini.

Ici, mises à part la récurrence et la factorisation primaire, on utilise le fait qu'un produit différent de 1 n'est pas indexé sur le vide.

[raito123]

une preuve de l'infinité de premier du type 4n+3, je n'en connais pas par coeur. Mais je vais plancher dessus.

Je te donne une par absurde d'où tu pourrais tirer ta preuve dirécte ,ok?

On note A l'ensemble des nombres premier de la forme 4k+3 noté :

On suppose que A est fini donc il admet un maximum p_n : on prend donc d admet au moins un diviseur premier de la forme 4k+3 et strictement supérieur à p_n sinon on peut facilement démontrer que d n'est pas de forme 4k+3 donc A est infini !!

Attends c'est ça que tu appelles une preuve dirécte non ? mais inituivement on la trouve avec un raisonnement par l'absurde ! Aprés tout on peut dire que ce sont des simples probléme de notation !!

Please, ne me dites pas que cette preuve est un recopiage inversé de la preuve par l'absurde habituelle, car c'est la preuve par l'absurde qui est un déguisement de cette démo directe. Enfin, bref...

.

Zut j'allais sûrement le préciser !!

[leon1789]

On a posté la même démo en même temps, à quelques minutes près. :we: Ca tombe bien !

Attends c'est ça que tu appelles une preuve directe non ? mais intuitivement on la trouve avec un raisonnement par l'absurde ! Après tout on peut dire que ce sont des simples problème de notation !!

Sur ces petites démos rapides, c'est difficile de faire ressortir des différences (si ce n'est l'aspect algorithmique théorique que la preuve directe propose). Arf...

[leon1789]

On note A l'ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 noté

On suppose que A est fini donc il admet un maximum p_n : on prend donc d admet au moins un diviseur premier de la forme 4k+3 et strictement supérieur à p_n sinon on peut facilement démontrer que d n'est pas de forme 4k+3 donc A est infini !!

Ce n'est pas utile que soit maximal, si ? Et puis tu fais une preuve par l'absurde dans ta preuve par l'absurde... dur dur...

Pour moi, la preuve par l'absurde "naturelle" arrive à la conclusion .

On note A l'ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 noté

On suppose que A est fini : on prend . Tous les diviseurs premiers de sont congrus à (car étrangers aux et à 2) donc . Or , donc contradiction, donc A est infini !!

[raito123]

On a posté la même démo en même temps, à quelques minutes près. :we: Ca tombe bien !

j'étais entrain d'écrire la mienne :we:

Sur ces petites démos rapides, c'est difficile de faire ressortir des différences (si ce n'est l'aspect algorithmique théorique que la preuve directe propose). Arf...

J'avoue c'est le même principe sauf que la mienne est en trois ligne ( 4 pour montrer que d a un diviseur premier de la forme 4k+3) sans utiliser de décomposition en facteur premier ni de recurence !!

En parlant de recurence j'aime pas l'utiliser dans ce genre de démonstration ( primo c'est pas évident secondo je peux te donner une demonstration "erroner" par recurence (la faute est peu visible) donc pour éviter ce genre de probléme j'évite ce type de raisonnement dans de tels exos !! )

[raito123]

Ce n'est pas utile que soit maximal, si ? Et puis tu fais une preuve par l'absurde dans ta preuve par l'absurde... dur dur...

Pour moi, la preuve par l'absurde "naturelle" arrive à la conclusion .

J'ai supposer qu'il est le maximal pour montrer qu'il y a un autre plus grand d'où la contradiction !!

Jolie expression : preuve par l'absurde dans la preuve par l'absurde mais je ne vois pas trop où??

[leon1789]

Nos messages se croisent...

J'avoue c'est le même principe sauf que la mienne est en trois ligne ( 4 pour montrer que d a un diviseur premier de la forme 4k+3) sans utiliser de décomposition en facteur premier ni de récurrence !!

Non, là, tu as écris une ébauche de preuve par l'absurde. Pour bien comparer, il faut l'écrire réellement dans le détail (comme je l'ai fait), et non en grandes lignes.

A part ça, c'est vrai qu'il y a une récurrence qui est "absorbée" par la preuve par l'absurde, ok.

En parlant de récurrence j'aime pas l'utiliser dans ce genre de démonstration ( primo c'est pas évident secondo je peux te donner une démonstration "erroner" par récurrence (la faute est peu visible) donc pour éviter ce genre de problème j'évite ce type de raisonnement dans de tels exos !! )

Tu peux aussi me donner une preuve par l'absurde fausse, et dont la faute sera peu visible... et même souhaitée pour obtenir une contradiction ! C'est un piège classique...

[leon1789]

Jolie expression : preuve par l'absurde dans la preuve par l'absurde mais je ne vois pas trop où??

On suppose que A est fini donc il admet un maximum p_n : on prend 4$ d = p_1p_2...p_n - 1 donc d admet au moins un diviseur premier de la forme 4k+3 et strictement supérieur à p_n sinon on peut facilement démontrer que d n'est pas de forme 4k+3 donc A est infini !!

Les passages soulignés indiquent des raisonnements par l'absurde.

J'ai écrit la preuve par l'absurde qui me vient à l'esprit, tu vois bien qu'elle ne ressemble pas à la tienne. Ma démo par l'absurde utilise la factorisation en premiers (comme la preuve directe).

Il faut que tu écrives ta preuve en détails. Après on y verra mieux.

[samah]

d=n +2^p

kblqkgdvblu

[raito123]

Oui j'ai remarquer pour les messages !
Et aussi que tu modifies tes post à chaque fois ^^

(Je vois l'absurde dans l'absurde ..lol)

Sinon voici ma methode :

On suppose que A est fini donc il admet un maximum p_n : on prend !!

Si tout les diviseures premiers de d étaient de la forme 4k+1 alors d aussi est de la forme 4k+1 ce qui n'est pas vrai donc y a au moins un diviseur de d dont la forme est 4k+3 donc appartient à A ( la conclution 1)

C'est claire que les diviseurs premiers de d (et de forme 4k+3) sont supérieurs à p_n qui contredit le maximalité de p_n !! ( conclusion 2)

Donc A est infini !!

[leon1789]

Et aussi que tu modifies tes post à chaque fois ^^

Je sais, on me le reproche souvent. Mais c'est convulsif chez moi : dès que je vois une coquille (orthographe, ou latex, etc.) ou un petit complément possible, je modifie... du coup, ça complique le suivi... désolé. Bon je me calme.

Sinon voici ma methode :

On suppose que A est fini donc il admet un maximum p_n : on prend !!

Si tous les diviseurs premiers de d étaient de la forme 4k+1 alors d aussi est de la forme 4k+1 ce qui n'est pas vrai donc y a au moins un diviseur de d dont la forme est 4k+3 donc appartient à A ( la conclusion 1)

C'est clair que les diviseurs premiers de d sont supérieurs à p_n qui contredit le maximalité de p_n !! ( conclusion 2)

Donc A est infini !!

ok.
Prends quand même : pour que d soit congru à 3 modulo 4. :we:
Par ailleurs, à la fin, >

Tu utilises aussi la factorisation primaire de , non ?

Et puis, tu peux refaire ta démo sans supposer p_n maximal : ça fonctionne pareil, non ?

Bon, on résume objectivement ces styles de preuve :
directe -> principe de récurrence, factorisation primaire
par l'absurde -> principe de l'absurde, factorisation primaire, plus légère à rédiger si on fait dans l'économie...

[leon1789]

C'est claire que les diviseurs premiers de d (et de forme 4k+3) sont supérieurs à p_n qui contredit le maximalité de p_n !! ( conclusion 2)

Comment vois-tu ça ?

[raito123]

Prends quand même : pour que d soit congru à 3 modulo 4. :we:
Par ailleurs, à la fin, >

Oui j'ai juste oublier de l'écrire :ptdr:

Tu utilises aussi la factorisation primaire de , non ?

Ben oui :doh: Mais sans le mentionner :happy2:

Et puis, tu peux refaire ta démo sans supposer p_n maximal : ça fonctionne pareil, non ?

Non puisque c'est là que j'ai voulu trouver la contradiction ( et de plus A est un ensemble fini de nombres premiers donc y a certainement un max )

Bon, on résume objectivement ces styles de preuve :
directe -> principe de récurrence, factorisation primaire
par l'absurde -> principe de l'absurde, factorisation primaire, plus légère à rédiger si on fait dans l'économie...

Ok

de plus les maths c'est simplifier se qui est compliquer et non compliquer ce qui est simple pour finalement le rendre simple :happy3:

[leon1789]

Non puisque c'est là que j'ai voulu trouver la contradiction ( et de plus A est un ensemble de nombres premiers donc y a certainement un max )

justement, je trouve que tu vas un peu vite en disant cela :

C'est claire que les diviseurs premiers de d (et de forme 4k+3) sont supérieurs à p_n qui contredit le maximalité de p_n !! ( conclusion 2)

Personnellement, j'ai besoin d'un argument arithmétique.

[raito123]

Comment vois-tu ça ?

On suppose i un diviseur premier de d dont la forme est 4k+3 si alors donc p_i va diviser d et d+1 absurde ( oui un troisiéme absurde dans la démonstration )