Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[kazeriahm]

si on admet le fait que N est bien ordonné alors on démontre la validité du raisonnement par récurrence par l'absurde

[leon1789]

C'est la définition de bon ordre ça (la contraposée est correcte dans wikipedia).

bien oui, c'est bien ce que je me disais cette nuit :happy2: ... j'ai lu et écrit trop vite mon message hier soir. :triste:
J'ai corrigé, merci.

[leon1789]

si on admet le fait que N est bien ordonné alors on démontre la validité du raisonnement par récurrence par l'absurde

Oui, donc tout dépend de la définition de N en quelque sorte...

Personnellement, je préfère celle qui rend la récurrence "naturelle" (comme on l'enseigne au lycée) plutôt que celle présentant la récurrence comme un raisonnement par l'absurde.

[leon1789]

(...)Bref, je crois qu'en général ce type de raisonnement cache une méthode de calcul. C'est tout à fait le genre de preuve que j'aime "retourner". (...)

"retourner" une preuve, comme un paysan retourne la terre, la travaille, pour en tirer le meilleur rendement. :ptdr:


Voici un petit exemple (qui n'est pas tout-à-fait ce que je voulais, mais bon on fait ce qu'on peut...)

Lemme :
Soit x,y, deux éléments d'un anneau commutatif A. On a alors

Preuve : cela vient de .
(ça rappelle quelque chose :id: )



Propriété :
Soit I un idéal d'un anneau commutatif A réduit (i.e. sans élément nilpotent autre que 0).
Si l'ensemble possède un élément maximal pour l'inclusion, disons , alors .

Preuve :
Soit , alors on a
.
Or x+i' appartient à I et est maximal donc on a égalité
.
Si bien que x appartient à . On vient de prouver .
Or car l'anneau est réduit, donc
, et donc .
Enfin, l'inclusion réciproque est vraie car i' appartient à I.


Une question se pose : comment trouver un tel élément maximal ?
En fait une méthode est cachée dans la preuve, mais il faut la "retourner".

[leon1789]

Ne vous gênez pas si vous voulez réagir à cette discussion :++:
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=66209&page=2&pp=14

[leon1789]

Sur le sujet http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=65245 , est-ce que la première démo, celle d'AviteurPilot, avec son raisonnement par l'absurde, est plus "naturelle" que celle que j'en fait après ?

[ThSQ]

Ne vous gênez pas si vous voulez réagir à cette discussion :++:
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=66209&page=2&pp=14

Une démo par l'absurde peut masquer un argument plus profond où l'on montre explicitement un objet ayant telle ou telle propriété mais ça me semble plutôt rare et faire des circonvolutions pour éviter d'utiliser le raisonnement par l'absurde me parait inutile dans les cas contraires.

[Dominique Lefebvre]

Puisque tu insistes : je trouve que ton attitude frise l'absurde.

Bonjour,
Si j'en juge par l'argument que tu déploies dans la suite, ce n'est pas l'attitude de Léon qui serait absurde mais son argumentaire. Ce qui n'est pas du tout la même chose! La polémique sur les idées est acceptable. Celle sur les personnes ou leur attitude, ne l'est pas, sur ce forum du moins.

Dominique

[ThSQ]

OK, désolé pour la forme maladroite, il n'y avait aucune trace agressivité ici (sur un autre post dans un autre thread, que tu reconnaitras, j'avoue que .....). Texte amendé en conséquences.

[leon1789]

OK, désolé pour la forme maladroite, il n'y avait aucune trace agressivité ici (sur un autre post dans un autre thread, que tu reconnaitras, j'avoue que .....). Texte amendé en conséquences.

Je reconnais que je dois améliorer ma façon de présenter mes "objections" de manière à être moins agressif.

Une démo par l'absurde peut masquer un argument plus profond où l'on montre explicitement un objet ayant telle ou telle propriété mais ça me semble plutôt rare et faire des circonvolutions pour éviter d'utiliser le raisonnement par l'absurde me parait inutile dans les cas contraires.

Utile / inutile ... Il faut voir sur des exemples. Il n'y a que ça je pense.
Et disons que ce qui est rare est a de la valeur :ptdr:

Je pars du principe qu'à une question simple, il faut répondre de manière simple tant que faire se peut. Or, mais là je m'avance un peu trop (serait-ce du parti pris ?), quand je lis des preuves en arithmétique par exemple, j'ai l'impression que les personnes abusant de raisonnement par l'absurde les accompagnent souvent d'un abus de "gros marteaux pour écraser une mouche"... toujours dans l'objectif d'aller le plus vite possible. C'est un "sport", ok.

Je suis persuadé que la rédaction des preuves en maths a un impact sur la manière de penser les maths (c'est le cas pour moi). Or l'abus du raisonnement par l'absurde est évident dans tout ce que je peux lire ici où là. Je ne dis pas qu'il faut le bannir, non, mais qu'il faut faire la part des choses. Evitons de tordre inutilement les choses : si on demande A => B, pourquoi ne pas essayer de démontrer A => B directement et simplement ? ...ou non B => non A si ça fonctionne mieux comme ça... (je sais, il n'y a pas de différence entre une contraposée et un raisonnement par l'absurde... et là encore, je ne suis pas d'accord...)

Personnellement, je pense que le raisonnement par l'absurde peut aider à présenter une preuve, mais c'est cela qui est rare (et non le contraire !)... Un problème pour moi, c'est que les exemples sur le forum sont tous "disjoints" et ne forment pas une progression logique vers un objectif clair comme dans un exposé. J'aurais bon démultiplier des exemples à partir de ceux du forum, l'impact d'une réflexion sur la rédaction risque fort de rester dérisoire... :triste:

[ThSQ]

Je reconnais que je dois améliorer ma façon de présenter mes "objections" de manière à être moins agressif.

La remarque sur l'agressivité s'adressait uniquement à moi :marteau: et pas à toi, qui fait toujours preuve de sagesse et de retenue (ce qui n'est pas mon cas) !

Utile / inutile

Quand un raisonnement direct permet de mieux cerner le problème (détails sur les hypothèses ..) ou permet de "construire" un objet répondant au problème, ok je vois l'intérêt. Mais sinon, malgré tes efforts patients (et obstinés) pour nous l'expliquer, je ne vois pas l'intérêt d'essayer de contourner un outil aussi efficace.

Montrer que sqrt(2) est irrationnel : comment tu fais de manière directe ?

[lapras]

ThSq : pour sqrt(2) on utilise les valuations 2 adiques... Mais la démo par l'absurde est accessible en 3ème (même avant en fait...) alors que celle avec les valuations 2 adiques non.

[raito123]

(...)
Montrer que sqrt(2) est irrationnel : comment tu fais de manière directe ?

Le 4éme post de cette discution y a une réponse à cette question !!

[ThSQ]

Le 4éme post de cette discution y a une réponse à cette question !!

Oui mais c'est, à mon avis, exactement la même preuve que celle par l'absurde. Elle est juste rédigée un peu autrement.

[Zweig]

ThSq : pour sqrt(2) on utilise les valuations 2 adiques

Ce n'est pas une obligation ! Je peux très bien te montrer une démonstration de l'irrationalité de n'utilisant ni l'absurde, ni les valuations p-adiques mais la géométrie.

[raito123]

Oui mais c'est, à mon avis, exactement la même preuve que celle par l'absurde. Elle est juste rédigée un peu autrement.

Exacte de plus j'ai remarquer que presque tout les démonstration de Leon sont des démonstration par absurde mais sans utiliser le terme "absurde"!( ce qui rend les choses un peu étrange à mon avis )

[ThSQ]

Ce n'est pas une obligation ! Je peux très bien te montrer une démonstration de l'irrationalité de n'utilisant ni l'absurde, ni les valuations p-adiques mais la géométrie.

La démo géométrique (celle des grecs, superbe d'ailleurs) est aussi par l'absurde il me semble bien.

[Zweig]

Je viens de vérifier dans mon bouquin ... En effet, je n'ai rien dit :stupid_in :marteau: :marteau:

[ThSQ]

Exacte de plus j'ai remarquer que presque tout les démonstration de Leon sont des démonstration par absurde mais sans utiliser le terme "absurde"!( ce qui rend les choses un peu étrange à mon avis )

Je cite : "Donc p^2 \neq 2q^2, donc p/q \neq sqrt{2}."

Qui est à mes yeux un raccourcis pour "p/q \neq sqrt{2} parce-que sinon p^2 = 2 q^2."

Toutes les démos par l'absurde peuvent s'inverser formellement en remontant le fil des implications en partant de l'impasse et sans jamais prononcer les mots "par l'absurde" mais c'est de la triche !

[ThSQ]

Je viens de vérifier dans mon bouquin ... En effet, je n'ai rien dit :stupid_in :marteau: :marteau:

Elle est extraordinaire cette preuve. En plus elle a mis un b*rd*l pas possible chez les pythagoriciens :ptdr: