Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[leon1789]

pour sqrt(2) on utilise les valuations 2 adiques... Mais la démo par l'absurde est accessible en 3ème (même avant en fait...) alors que celle avec les valuations 2 adiques non.

Les mot "valuation, adiques" sont exclus en 3ième évidemment, mais pas les nombres pairs et impairs !

La factorisation en premiers est évidemment plus compliquée que de parler de division par 2...
D'ailleurs, la factorisation en premiers se fait maintenant en terminal S options maths uniquement.
En seconde, le théorème de factorisation est admis, mais non démontré, ce qui prouve une certaine difficulté (qui n'apparait plus à vos yeux).

En revanche, je veux bien expliquer qu'on peut diviser par 2 un nombre entier tant qu'il n'est pas impair... d'où l'écriture avec impair. Ca vous paraît complqiué ??? :hein:

[leon1789]

Oui mais c'est, à mon avis, exactement la même preuve que celle par l'absurde. Elle est juste rédigée un peu autrement.

Sur le net (plus simple pour nous tous), montre nous une preuve par l'absurde n'utilisant pas la notion de pgcd ? (ou pire : descente infinie)

[raito123]

(...)

Toutes les démos par l'absurde peuvent s'inverser formellement en remontant le fil des implications en partant de l'impasse et sans jamais prononcer les mots "par l'absurde" mais c'est de la triche !

Disons que c'est un moyen pour que Léon se sent bien !!

[leon1789]

Je cite : "Donc , donc ."

Qui est à mes yeux un raccourcis pour " parce-que sinon ."

Toutes les démos par l'absurde peuvent s'inverser formellement (...)

Non pas toutes.
Ou alors il faut faire des preuves directes avec discussions... ce qui n'a rien d'avantageux (face à une contraposée par exemple).

Toutes les démos par l'absurde peuvent s'inverser formellement en remontant le fil des implications en partant de l'impasse et sans jamais prononcer les mots "par l'absurde" mais c'est de la triche !

Bon, c'est le symbole qui choque alors ? il ne vous arrive jamais de dire donc ??

[leon1789]

Disons que c'est un moyen pour que Léon se sent bien !!

peut-être, peut-être ... :we:

Mais il faut aussi remarquer que certains pensent que le théorème de factorisation est prouvé en 3-ième, et que "diviser par 2 tant que c'est possible", c'est hors de portée...

Heu... une preuve par l'absurde n'utilisant pas la notion de fraction réduite ?

[raito123]

(...)

Heu... une preuve par l'absurde n'utilisant pas la notion de fraction réduite ?

Pour montrer quoi?

[ThSQ]

Sur le net (plus simple pour nous tous), montre nous une preuve par l'absurde n'utilisant pas la notion de pgcd ? (ou pire : descente infinie)

Je vois pas bien le lien avec la discussion :hein: :hein:

[ThSQ]

Non pas toutes.

On veut montrer p => q.

On fait par l'absurde : p et non(q) => q1 => ... => qn faux.

"démo sans absurde" : toute le monde sait que non(qn) est vrai, donc non(q(n-1)) est vrai donc ..... à aucun moment on a prononcé l'ignominieux "par l'absurde" mais c'est du pareil au même pour moi, sauf qu'on a sorti du chapeau q(n) qu'on ne peut trouver qu'en faisant la démo par l'absurde.

[leon1789]

Pour montrer quoi?

Pour démontrer , je prétends que ceux qui le font par l'absurde utilise au moins une chose qui n'intervient pas dans la preuve directe : le pgcd, ou "pire".

(... ou alors ils habillent une preuve directe en preuve par l'absurde en ajoutant "supposons ... absurde".)

Je vois pas bien le lien avec la discussion :hein: :hein:

C'est à dire qu'il y a plusieurs intervenants qui ont émis des idées différentes, et la discussion fuse...

Oui mais c'est, à mon avis, exactement la même preuve que celle par l'absurde. Elle est juste rédigée un peu autrement.

Sur le net (plus simple pour nous tous), montre nous une preuve par l'absurde n'utilisant pas la notion de pgcd ? (ou pire : descente infinie, etc.)

La preuve que je soutiens n'utilise rien d'autre (ou presque) que la parité. Une preuve avec pgcd n'est pas tout à fait de même nature.
Cela étant, la preuve que je soutiens n'est pas une super nouvelle preuve, ok.


Un exemple où il sera forcément intéressant de faire une preuve directe, c'est ici http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=415327#post415327
mais cela va demander probablement de nouveaux outils...

[leon1789]

On veut montrer p => q.

On fait par l'absurde : p et non(q) => q1 => ... => qn faux.

"démo sans absurde" : toute le monde sait que non(qn) est vrai, donc non(q(n-1)) est vrai donc ..... à aucun moment on a prononcé l'ignominieux "par l'absurde" mais c'est du pareil au même pour moi, sauf qu'on a sorti du chapeau q(n) qu'on ne peut trouver qu'en faisant la démo par l'absurde.

oui c'est exact. C'est pour cela qu'un brouillon est nécessaire : pour cerner les assertions qui rentent en jeu et voir le coeur du problème.

En fait, je ne m'arrête pas écrire la contraposée de p et non(q) => q1 => ... => qn faux, qui serait moche, puisque "balancé du chapeau" .
En fait, en m'inspirant de p et non(q) => q1 => ... => qn faux,
je cherche p => .... , puis non q => ....
et finalement, souvent, j'arrive à p => q ou non q => non p
sans un "balancé du chapeau" au final.

[Zweig]

Je trouve que tu chipottes beaucoup pour pas grand chose au final ... Le raisonnement par l'absurde fait partie de "l'arsenal" de tout mathématicien qui se respecte, tout comme le sont les raisonnements par minimum/maximum, le raisonnement par récurrence etc ... ainsi que les "astuces" ... et son utilisation a fait ses preuves à moulte reprise.

[raito123]

Supposant qu'il y a "un simple" habillage, la question que je me pose : c'est que cela va changer quoi?? Puisque tout preuve dirécte peut être transformer en preuve 'par absurde' ( et vice versa) alors y a pas de mal à faire ça, non ?

Tu peux me montrer avec une preuve dirécte que la forme 4p+3 contient un nombre infini de nombres premiers ?

encore plus : Mq l'ensemble des nombres premiers est infini ( tjrs avec une preuve dirécte )

( Je suppose que si tu vas pas utiliser "on suppose.....absurde" alors tu va utiliser "si ....alors....donc impossible" chose qui va aboutir au même point de départ "utilisation de l'absurde")

[leon1789]

Je trouve que tu chipottes beaucoup pour pas grand chose au final ... Le raisonnement par l'absurde fait partie de "l'arsenal" de tout mathématicien qui se respecte, tout comme le sont les raisonnements par minimum/maximum, le raisonnement par récurrence etc ... ainsi que les "astuces" ... et son utilisation a fait ses preuves à moulte reprise.

Oui, c'est du chipotage sur , mais cela s'amplifie dans certaines situations.

Petite question : imagine une application de où E est un ensemble fini ou un espace vectoriel de dimension finie. Imagine que grace à une preuve par l'absurde, on montre que f est surjective. On en conclut que f est bijective... sans avoir aucun moyen de calculer l'inverse de f. Est-ce que cela te choque ? Moi, oui, j'aime bien connaitre la fonction réciproque d'une bijection... Cela peut être très difficile, mais une preuve directe te donnera la fonction inverse. Est-ce chipotter de vouloir connaitre concrètement des choses qui sont démontrées exister ?

[leon1789]

Supposant qu'il y a "un simple" habillage, la question que je me pose : c'est que cela va changer quoi?? Puisque tout preuve dirécte peut être transformer en preuve 'par absurde' ( et vice versa) alors y a pas de mal à faire ça, non ?

Ce n'est pas forcément possible de mettre en directe une preuve par l'absurde.

Tu peux me montrer avec une preuve dirécte que la forme 4p+3 contient un nombre infini de nombres premiers ?

il faut y réfléchir...

encore plus : Mq l'ensemble des nombres premiers est infini ( tjrs avec une preuve dirécte )

( Je suppose que si tu vas pas utiliser "on suppose.....absurde" alors tu va utiliser "si ....alors....donc impossible" chose qui va aboutir au même point de départ "utilisation de l'absurde")

Non, La preuve donne un moyen (théorique) d'en obtenir une infinité !

[raito123]

Ce n'est pas forcément possible de mettre en directe une preuve par l'absurde.

Ok je me suis rendu compte juste aprés l'avoir écrit :doh:

il vaut y réfléchir...

tu sais tu peux tjrs la faire avec l'absurde si tu veux ...lol!!

Sinon avec une distinction des cas avec des "si...donc..."

Non, La preuve donne un moyen (théorique) d'en obtenir une infinité !

Donc ça revient à dire qu'il est infini !!

Une démonstration stp ?

[ThSQ]

Ce n'est pas forcément possible de mettre en directe une preuve par l'absurde.!

Est-ce que tu admets le principe du tiers exclu Léon ? Probablement que oui ...

Bon, si oui, tout raisonnement par l'absurde se retourne en un raisonnement direct !

[raito123]

(...)
Bon, si oui, tout raisonnement par l'absurde se retourne en un raisonnement direct !

Peut-être mais pas tout raisonnement directe se retourne en raisonnement pas absurde !!

[ThSQ]

D'un point de vue logique (et en admettant le tiers exclu) tout ça me parait équivalent.

[ThSQ]

Un texte très intéressant à lire (et à relire à tête reposée) : http://hlombardi.free.fr/publis/RPA.pdf

[leon1789]

tu sais tu peux tjrs la faire avec l'absurde si tu veux ...lol!!
Sinon avec une distinction des cas avec des "si...donc..."

une preuve de l'infinité de premier du type 4n+3, je n'en connais pas par coeur. Mais je vais plancher dessus.

Donc ça revient à dire qu'il est infini !!
Une démonstration stp ?

Oui, sans problème, par récurrence :

On suppose connaitre nombres premiers (avec ). Alors le plus petit diviseur de est un nombre premier étranger aux nombres . C'est donc un (n+1)-ième nombre premier. Par récurrence, il en existe une infinité.

Please, ne me dites pas que cette preuve est un recopiage inversé de la preuve par l'absurde habituelle, car c'est la preuve par l'absurde qui est un déguisement de cette démo directe. Enfin, bref...

Ici, il n'y a pas de différence théorique entre preuve par l'absurde et preuve directe, ok, mais il faut dire que les deux preuves sont simples, donc difficiles de mettre des différences notables en valeur.