0,999.. Entier Naturel?!

[zenko]

Je n'ai pas eu le temps de lire tous les posts mais cette discussion m'a fait soulever quelques questions...
N'est il pas inconcevable d'écrire que 1/3=0.333... sachant que 1%3=1 ?
(% signifie modulo et donne le reste de la division)
Donc, on pourrait suggérer que 1/3 = 0.3333333 + 0.00...1 non ?

Autre question : Quel est l'utilité d'écrire 0.33... qui est mathématiquement impossible à écrire entièrement alors que l'on peut l'écrire 1/3 ?

De plus, la base de la théorie des ensembles explique bien que N est inclu dans Z qui est inclu dans D qui est inclus dans Q qui est inclus dans R qui est inclus dans C et non l'inverse...

Par conséquent, les chiffre tels que 1/3 font partis de l'ensemble Q et non de D est-ce exact ? Donc écrire 1/3 sous forme décimal est incorrect non ?

Par ailleurs, aujourd'hui, nous disons que Pi est un irrationnel mais il est bien le résultat d'un quotient de deux entiers relatifs à savoir que pour un rayon x est un périmètre y, le quotient de =Pi alors même si on ne l'a pas encore trouvé, Pi doit être un rationnel ?

P.S : Désolé pour le LATEX...

[Skullkid]

Pour répondre dans l'ordre :

Le reste de la division euclidienne de 1 par 3 est 1. Cela signifie que , et rien d'autre. Rien à voir avec le nombre rationnel 1/3.

0,33... est tout à fait possible à écrire : je viens de le faire. Ce qui est impossible à écrire c'est l'infinité de 3, mais elle est représentée par les points de suspension. Comme ça a été dit de nombreuses fois plus tôt, il s'agit de savoir ce que signifie cette écriture. Par définition, on note 0,33... la limite de la suite 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 ; 0,33333 ; etc. Cette suite peut être parfaitement définie mathématiquement (c'est-à-dire sans avoir recours à des "etc" ni à des points de suspension) à l'aide d'outils qui sont un peu avancés. Le fait d'écrire 0,33... au lieu de 1/3 n'a pas vraiment d'utilité (si ce n'est d'obtenir des approximations de 1/3 avec une précision aussi grande qu'on veut), mais il n'empêche pas que ces deux nombres soient égaux.

1/3 est en effet un élément de qui n'appartient pas à . Mais écrire le développement décimal de 1/3 est tout à fait possible. Les nombres décimaux sont par définition ceux qui ont nombre fini de chiffres après la virgule. 1/3 peut être écrit sous la forme d'un nombre à virgule, mais comme il n'est pas décimal, il a une infinité de chiffres après sa virgule.

Tout nombre réel x est le résultat du quotient x/1, ce n'est pas pour ça que tous les réels sont rationnels. Un rationnel est le résultat d'un quotient entre deux nombres entiers. Et est un irrationnel, je te renvoie à Google pour trouver des démonstrations de son irrationalité.

[Sylviel]

Les démonstations d'irrationalité de pi ne sont pas évidente. En revanche tu peux faire une démonstration simple du fait que n'est pas rationnel (suppose que c'est le cas, écrit le sous forme de fraction irréductible p/q, réécrit ta fraction comme une relation entre p et q et joue avec la parité pour aboutir à une contradiction) Hors est un quotient de longueur très "naturelle" (longueur de la diagonale d'un carré sur son côté)... L'erreur de ton raisonnement vient du fait que tu ne peux pas choisir un périmètre et un rayon comme tu veux... Justement puisque si tu choisit le rayon alors le périmètre est défini par 2piR...

[zenko]

@Skullkid : Je ne comprends pas ce que tu me dis, je suis d'accord sur le fait que 1=0x3+1 mais si l'on veux effectuer la division du chiffre rationnel de 1/3, on note bien :
en 1, 3 y va 0 fois. On note 0 et on retient 1.
On ajoute la virgule.
Puis, on effectue l'opération suivante :
En 10, 3 y va 3 fois et on retient 1 (et ainsi de suite)
Donc, même 0.33... n'est pas égale à 1/3 puisque le reste n'est pas égale à 0 mais à 1 donc 0.33... est environ égale à 1/3 (même si la différence se joue à ) . Ai-je un mauvais raisonnement ?

Pour et , j'ai compris, d'ailleurs, je me suis rendu compte de mon erreur dans la nuit mais j'avais la flemme de bouger de mon lit :p

[Skullkid]

0,33... avec une infinité de 3 est égal à 1/3. Ce n'est pas une valeur approchée, c'est une égalité parfaitement rigoureuse. En revanche, 0,33...3 avec n 3 après la virgule est une approximation de 1/3 à près, que tu obtiens en faisant n fois l'opération "je pose tant, je retiens tant" dans ta division (qui n'est pas ce qu'on appelle couramment une division euclidienne). Tu confonds infini avec "très grand".

Si tu es familier avec la notion de suites et de limites, on pose où il y a n 3.
. Donc, la limite de , qui est par définition égale à 0,33... avec une infinité de 3, est égale à 3/9 = 1/3.

[zenko]

Si si je comprend mais je n'arrive pas à me dire que l'égalité est parfaite tant que le résultat n'est pas terminé...
Vois-tu mon soucis ?

[Doraki]

10 * 0.33333... = 3.33333... = 3+0.33333...

Si on mettait un nombre fini de 3 après la virgule, on n'aurait pas le même nombre de 3 à gauche et à droite.
Mais si on dit qu'il y a une infinité de 3 après la virgule, le 0.33333... à gauche est le MEME que le 0.33333... à droite, ce sont tous les deux un 0 avec une infinité de 3 après la virgule.
Et donc 0.33333... * (10-1) = 3, donc 0.33333... = 3/9 = 1/3.

D'un autre coté, si on suppose que 1/3 peut s'écrire sous forme décimale, alors on voit que :
Comme 0.3 < 1/3 < 0.4, ce nombre commence par 0.3
Comme 0.33 < 1/3 < 0.34, ce nombre commence par 0.33
etc.
Donc si il y a une écriture décimale pour 1/3, ça ne peut pas être autre chose que 0.33333...

Quand on (ou la calculatrice) vous dit que 1/3 = 0.33333... avec une infinité de 3 après la virgule, malheureusement on ne vous explique pas comment on calcule ou on raisonne avec des nombres ayant une infinité de décimales.
Ce qu'il y a de bien avec l'infini, c'est que c'est pas un nombre fini, et qu'il n'a pas de dernier élément. Il n'y a pas de décimale tout au bout, où 0.33333... s'arrêterait, vu qu'il ne s'arrête justement pas.

[Lostounet]

10 * 0.33333... (avec n le nombre de 3 après la virgule) = 3.33333... (avec n - 1 le nombre de '3' après la virgule) = 3+0.33333...

Si on mettait un nombre fini de 3 après la virgule, on n'aurait pas le même nombre de 3 à gauche et à droite.

(Juste un peu de précision)
On pourra ainsi arriver à un moment donné ou on épuisera le nombre de 3 avec des puissances de 10. On conçoit donc qu'il s'agit d'un décimal.

Le raisonnement que tu as suivi ici:

On ajoute la virgule.
Puis, on effectue l'opération suivante :
En 10, 3 y va 3 fois et on retient 1 (et ainsi de suite)
Donc, même 0.33... n'est pas égale à 1/3 puisque le reste n'est pas égale à 0 mais à 1 donc 0.33... est environ égale à 1/3 (même si la différence se joue à... ) . Ai-je un mauvais raisonnement ?

rejoins un peu le miens, quand j'ai dit:

2 * 0,999.. = 2 * 1 = 2 (d'une part, si 0,999.. = 1)

2 * 0,999... = 1,999...8 (d'autre part, en posant le calcul).

Mais la démarche suivie ici est incorrecte. En effet, on suppose que 0.999.. n'a pas de dernier élément. Ainsi, en posant la multiplication:
0,999
2
----> Deux multiplié par 9, on pose 8, et je retiens 1.
Deux multiplié par 9, on pose 9, et je retiens 1 (Etc..)

Mais on ne peut pas savoir quand ce 8 va tomber. On pourra toujours mettre autant de 9 qu'on veut. On verra rapidement que ce 8 n'a pas lieu d'être finalement.
Donc on admet que 2 * 0.999 = 2

OU, si tu veux: 2 * 0.9999 = 1,999... (ce que je préfère moi, personnellement)

Du moins, c'est ce que je crois avoir pu synthétiser !

[zenko]

Ok, je pense que c'est vraiment parce que je n'ai pas l'habitude de travailler avec des nombre à chiffres infinis ^^

Par contre, autre petite question : Est-ce que 0.33333... est une autre forme de 1/3 ou est-ce vraiment une égalité ( je ne parle pas que d'admission là ) ?
Dans le cas où c'est une égalité, comment expliqué la disparition du reste ?

Merci pour toutes vos précisions ;)

[Skullkid]

1/3 = 0.33... Ce sont deux façons différentes d'écrire le même nombre. On peut aussi l'écrire 3/9 ou 15/45.

Ce que tu appelles le reste c'est une quantité qui n'intervient que quand tu poses la division. Tu pourras poser la division avec autant de précision que tu veux, tu auras toujours un "quotient" égal à 0.33...3 (avec un nombre fini de 3) et un reste non nul, parce que la division ne sera jamais terminée (elle n'a pas de fin, comme le nombre de 3 après la virgule).