0,999.. Entier Naturel?!

par **Nightmare** » 09 Déc 2009, 20:28

Lostounet a écrit:J'ai bien cette propriété de Nightmare (dont le post vient de disparaitre :hum: )

Excuse la suppression de mon post qui a quelques mots et secondes près était équivalent à celui de ffpower :happy3:

par **Sve@r** » 09 Déc 2009, 20:33

ffpower a écrit:Pas vraiment en fait.Tous les entiers peuvent s écrire comme ca ( genre 85=84.999...). Mais evidemment, faut forcément que ca finisse par 99999..

En y réfléchissant un peu plus, je me demande si le nombre 0.9999... existe vraiment ???

Explications:
- les entiers naturels existent de façon naturelle. Une pomme, deux oranges, trois poires, etc. On peut y rajouter un signe signifiant ainsi une direction (+ c'est vers la droite, - c'est vers la gauche) ou un état (+ c'est un crédit, - c'est une dette) etc mais cela reste issu de la nature
- il existe des nombres non naturels issus de nombres naturels => les décimaux => 1/2 orange, 3/4 pommes, etc.
- il existe des nombres non naturels et non décimaux issus de nombres naturels => les rationnels => 1/3; 1/7; etc
- il existe des nombres au delà issus eux-aussi de nombres naturels (comme

qui est la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1).

Ainsi tous les nombres dont nous parlons sont toujours issus de quelque chose de naturel (même pi qui est issu de la division de la circonférence d'un cercle par son diamètre). Sauf 0.99999999 qui, lui, vient de nulle-part. D'où ma question => ce nombre existe-t-il réellement ???

par **Nightmare** » 09 Déc 2009, 20:38

Sve@r a écrit:En y réfléchissant un peu plus, je me demande si le nombre 0.9999... existe vraiment ???

Oui, car la série des 9.10^(-k) est convergente et a pour somme 1 :lol3:

Il n'y a pas de problème d'existence ici, la seule chose qui pose problème c'est la définition des points de suspensions, et celle-ci est donnée par la série. Alors si tu veux on pourrait dire que ce n'est pas un nombre en soi, juste une écriture. D'ou le fait qu'on dise qu'un nombre (entier) a deux écritures.

par **Sve@r** » 09 Déc 2009, 20:40

Nightmare a écrit:Oui, car la série des 9.10^(-k) est convergente et a pour somme 1 :lol3:

Il n'y a pas de problème d'existence ici, la seule chose qui pose problème c'est la définition des points de suspensions, et celle-ci est donnée par la série. Alors si tu veux on pourrait dire que ce n'est pas un nombre en soi, juste une écriture. D'ou le fait qu'on dise qu'un nombre (entier) a deux écritures.

C'est pas mal :++: Mais quand je disais "existe-t-il réellement", c'est plus dans le sens "peut-on avoir un calcul qui donne ce nombre comme résultat ?"

J'adore ce topic !!! :zen:

par **Lostounet** » 09 Déc 2009, 20:47

Mes questions sont toujours très intéressantes :P, n'est-ce pas, Svear ? lol

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 20:49

Sve@r a écrit:En y réfléchissant un peu plus, je me demande si le nombre 0.9999... existe vraiment ???

Explications:
- les entiers naturels existent de façon naturelle. Une pomme, deux oranges, trois poires, etc. On peut y rajouter un signe signifiant ainsi une direction (+ c'est vers la droite, - c'est vers la gauche) ou un état (+ c'est un crédit, - c'est une dette) etc mais cela reste issu de la nature
- il existe des nombres non naturels issus de nombres naturels => les décimaux => 1/2 orange, 3/4 pommes, etc.
- il existe des nombres non naturels et non décimaux issus de nombres naturels => les rationnels => 1/3; 1/7; etc
- il existe des nombres au delà issus eux-aussi de nombres naturels (comme qui est la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1).

Ainsi tous les nombres dont nous parlons sont toujours issus de quelque chose de naturel (même pi qui est issu de la division de la circonférence d'un cercle par son diamètre). Sauf 0.99999999 qui, lui, vient de nulle-part. D'où ma question => ce nombre existe-t-il réellement ???

C'est une question naturelle en effet de se demander si de tels trucs, les réels en fait, "existent" vraiment. Mais disons que les maths,telles qu elles sont faites ont décidé que ces trucs existeraient car c est bien pratique. Et donc par exemple le nombre 0,12345678910111213.... existe mathématiquement mais n'a aucune signification particuliere...

par **Lostounet** » 09 Déc 2009, 20:51

Ah au fait, 0,123456789101112131415 est-il rationnel?

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 20:52

non, il ne l'est pas: dans un rationnel,il y a forcément au bout d un moment une suite de chiffres qui se répete sans cesse, et ici ce n est pas le cas...

par **Lostounet** » 09 Déc 2009, 20:53

Mais on peut "prévoir" les chiffres, par contre..

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 20:59

oui.. Ce qui est d ailleurs assez rare pour un nombre irrationnel. Ca va que celui la est concu pour, mais disons qu a l heure actuelle, ya aucun nombre irrationnel (a ma connaissance ) qui a une signification mathématique et dont on peut prévoir les chiffres. Par exemple, si tu montres qu il y a une infinité de 1 dans le développement de racine(2), tu deviendrais probablement célebre^^

par **Lostounet** » 09 Déc 2009, 21:03

Haha :P !
Je voudrais vous remercier tous pour votre participation très enthousiaste :)

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 21:05

Tant que c'est interessant...
Et félicitations pour ton ouverture mathématique pour un éléve de 3eme

par **Sve@r** » 09 Déc 2009, 21:11

ffpower a écrit:C'est une question naturelle en effet de se demander si de tels trucs, les réels en fait, "existent" vraiment. Mais disons que les maths,telles qu elles sont faites ont décidé que ces trucs existeraient car c est bien pratique. Et donc par exemple le nombre 0,12345678910111213.... existe mathématiquement mais n'a aucune signification particuliere...

Si tu parles du nombre 0,12345678910111213 12345678910111213 12345678910111213 (j'ai présumé que les points de suspension signifiaient une répétition à l'infini) alors oui, il existe. Il est égal à

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 21:17

Non,les points suspensions veulent dire qu on continue a compter. La suite c'est
....1415161718192021.........99100101102...

par **Sve@r** » 09 Déc 2009, 21:23

ffpower a écrit:Non,les points suspensions veulent dire qu on continue a compter. La suite c'est
....1415161718192021.........99100101102...

Ouaip. C'est un irrationnel. Mais il existe justement de par sa nature d'irrationnel. Et probablement il existe une opération mathématique qui donne ce nombre comme résultat.

J'ai beau chercher, je ne trouve pas d'opération qui donne comme résultat 0.99999999999... Même si je fais 0.8888888888... + 0.1111111111..., c'est

et ça donne... 1 :briques:

ffpower a écrit:Mais disons que les maths,telles qu elles sont faites ont décidé que ces trucs existeraient car c est bien pratique.

D'où l'idée que les mathématiques transcendent l'univers...

par **ffpower** » 09 Déc 2009, 21:26

Quel est le probleme. 0,999999...=1, forcément tu retomberas dessus vu que cette égalité est vraie^^
Et oui, il existe, et il est égal à 1...Je ne suis pas sur d'avoir compris ta question du coup...

par **Nightmare** » 09 Déc 2009, 21:29

Sve@r a écrit:J'ai beau chercher, je ne trouve pas d'opération qui donne comme résultat 0.99999999999... Même si je fais 0.8888888888... + 0.1111111111..., c'est et ça donne... 1 :briques:

Ce qui me choque, c'est que tu n'arrives pas à concevoir que 0,9999... existe alors que ça ne semble pas te contrarier de travailler avec 0,8888.... et 0,1111.... et ça a l'air d'encore moins te gêner de dire qu'ils valent respectivement 8/9 et 1/9. Alors pourquoi pas 0,9999...=9/9 ?

par **Sve@r** » 09 Déc 2009, 21:33

ffpower a écrit:Quel est le probleme. 0,999999...=1, forcément tu retomberas dessus vu que cette égalité est vraie^^
Et oui, il existe, et il est égal à 1...Je ne suis pas sur d'avoir compris ta question du coup...

Disons que c'est pour le plaisir de discuter de façon philosophique que mathématique. Tous les nombres dont on a parlé jusqu'à présent (même ton dernier) existent car
1) ils font partie d'une certaine catégorie (naturels, décimaux, rationnels, etc)
2) ils peuvent être issus d'un calcul impliquant d'autres nombres faisant eux-aussi partie d'une catégorie ou d'une autre
Et donc, si on veut en parler, il faut bien les exprimer.

Or, 0.999999 ne correspond pas aux 2 critères (il n'est pas rationnel, pas irrationnel, pas issu d'un calcul). Peut-on (philosophiquement) encore le considérer ???

Nightmare a écrit:Ce qui me choque, c'est que tu n'arrives pas à concevoir que 0,9999... existe alors que ça ne semble pas te contrarier de travailler avec 0,8888.... et 0,1111.... et ça a l'air d'encore moins te gêner de dire qu'ils valent respectivement 8/9 et 1/9.

Attention, si je pose l'opération 8 divisé par 9 telle qu'on l'apprend au primaire, j'obtiens bien
- 8 divisé par 9 y va 0 fois et il reste 8 => 0
- je pose la virgule et je descend un zéro => 0,
- 80 divisé par 9 y va 8 et il reste 8 => 0,8 (et je descend un zéro de plus)
- 80 divisé par 9 y va 8 et il reste 8 => 0,88 (et je descend un zéro de plus)
etc etc...

Tu comprends où je veux en venir ??? 0.8888 existe (philosophiquement parlant) parce qu'il correspond à la vraie division de 8 par 9. Pour simplifier l'idée, peut-on concevoir un calcul qui donne 0.99999... ?

Nightmare a écrit:Alors pourquoi pas 0,9999...=9/9 ?

:zen: Parce que 9 divisé par 9 donne:
- 9 divisé par 9 y va une fois et il reste zéro :++: :++: :++:

[edit]Ok. Ptet que la phrase "existe-t-il vraiment" est mal formulée. C'est pas non plus facile d'exprimer des sensations par écrit. Je vais donc y aller différemment: je ne nie pas l'existence mathématique de 0.999.... (si on en parle c'est qu'il existe !) mais puisque 0.9999999... est égal (de la vraie égalité mathématique, et c'est un peu grâce à toi si maintenant je le sais) à 1, pourquoi encore en parler ??? Autant parler directement de 1.
De même

n'a pas de raison d'être. Quand je veux nommer ce nombre, je parle alors de

Alors certes parfois

revêt une certaine importance, surtout quand je veux ajouter

à

, il vaut mieux utiliser alors son autre écriture

car cela simplifiera ensuite le calcul. Mais je ne vois pas trop l'utilité de remplacer 1 par 0.99999... Et donc je ne vois pas trop l'utilité de cette écriture (hormis pour le plaisir d'en discuter philosophiquement et mathématiquement)
Toutefois cela ne veut pas dire qu'il en sera toujours ainsi. Au XVIII° siècle, deux mathématiciens ont recréé, pour le fun, une géométrie totalement remaniée qui partait de l'idée qu'une droite était en fait une parabole pour l'un et une hyperbole pour l'autre. Ces deux géométries, bien que totalement logiques et mathématiquement construites, n'étaient pas sensées servir jusqu'à ce qu'Einstein s'en serve pour bâtir sa théorie de la relativité générale. Et donc je ne refuse pas la possibilité pour que, dans le futur, dans certaines technologies ou sciences (mécanique quantique par exemple où on commence à poser l'hypothèse que a+b n'est pas égal à b+a), il soit parfois utile d'utiliser 0.99999... à la place de 1. Mais aujourd'hui, puisque (encore une fois grâce à toi et à Alpha) l'égalité entre 0.99999... et 1 est prouvée, autant se servir directement de 1... :zen:

Nightmare a écrit:Alors pourquoi pas 0,9999...=9/9 ?

A la réflexion, quand on examine bien l'implication mathématique de l'égalité, puisque 1=0.9999... alors oui, pourquoi pas... mais aussi puisque c'est égal à 1 alors pourquoi pas plus simplement 9/9=1 ?

Lostounet, t'as fait marcher des neurones ce soir... :++:

par **Lostounet** » 10 Déc 2009, 21:10

Sve@r a écrit:Lostounet, t'as fait marcher des neurones ce soir... :++:

:++: Yop ! J'aime bien ça moa!
En tout cas, je suis du même avis que toi sur ce que t'as dis! :hum:

par **Ben314** » 10 Déc 2009, 22:24

Pour rajouter une "pierre" à l'édifice, j'ai vraiment l'impression que ce qui pertube beaucoup de gens c'est qu'ils pensent (à tort) qu'un réel n'admet qu'une seule écriture décimale.
Le plus perturbant (peut être) étant que l'ensemble des réels qui admettent plusieurs écritures décimales (ho, les méchants...) sont ... les décimaux (donc en particulier les entiers).
1/3, racine(2) ou pi sont quand à eux des "gentils" : ils n'ont qu'une seule écriture décimale.

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