La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un entier ?

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anthony_unac
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La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un entier ?

par anthony_unac » 20 Mai 2016, 23:52

Bonjour,

Il est possible de faire un point aujourd'hui sur la recherche des nombres presque entiers de la forme après essai de tous les entiers de 1 à 1 million.
Vous trouverez dans le fichier excel joint une liste quasi exhaustive de ces derniers ayant une partie décimale commençant par une répétition d'au moins cinq fois le chiffre 9 ou cinq fois le chiffre 0.
Image
On constate qu'une bonne proportion des entiers (situés sous la racine) peuvent se réécrire sous la forme : avec entier et premier.
Aujourd'hui, je m'intéresse au cas ou et plus précisément aux presque entiers de la forme . Cela signifie que est pair et la cerise sur le gâteau serait d'en trouver un qui soit un carré parfait (permettant ainsi de faire sauter la racine). Géométriquement cela reviendrait à trouver le diamètre d'un cercle tel que sa circonférence soit égale à ou est un presque entier supérieur à 1 million.
Le deuxième défi consisterait à trouver un presque entier dont la partie décimale commencent par une répétition d'au moins douze fois le chiffre 9 ou douze fois le chiffre 0. Cela répondrait définitivement à la question : La constante de Ramanujan (cas ou ) est elle la seule à engendrer un presque entier de la forme aussi proche d'un entier.

Le débat est ouvert pour le moment.
Lorsqu'on essai de réécrire , il est possible d'obtenir quelquechose de la forme :

La fonction étant strictement supérieur à (asymptote horizontale) on s'attend à ce que tende vers +inf mais cela ne donne aucune info sur la partie décimale de la chose.
C'est horriblement compliqué de trouver des valeurs de qui génèrent des presque entiers très proches d'un entier. Cela semble échapper à toute formule simple (un peu comme les nombres premiers).
Aujourd'hui je sollicite les connaissances des membres du forum car ce problème me dépasse totalement.
Modifié en dernier par anthony_unac le 23 Mai 2016, 17:13, modifié 1 fois.



Pseuda
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par Pseuda » 21 Mai 2016, 13:21

-------------------------
Modifié en dernier par Pseuda le 21 Mai 2016, 19:52, modifié 1 fois.

Doraki
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par Doraki » 21 Mai 2016, 15:34

A part les cas exceptionnels où exp(pi sqrt(n)) est plus proche d'un entier que ce que le hasard devrait permettre (et qui sont expliqués avec l'invariant modulaire etc etc), tes résultats (un ordre de grandeur de 20 valeurs de n <= 10^6 pour lesquels exp(pi sqrt(n)) est à 10^-5 d'un entier) sont compatibles avec une heuristique qui dit que les parties fractionnaires sont uniformément distribuées, donc à mon avis si tu regardes tous les n jusqu'à disons 10^20 (et non pas 10^6), tu vas très probablement battre le record de n=163.

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anthony_unac
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 21 Mai 2016, 16:41

Doraki a écrit:... à mon avis si tu regardes tous les n jusqu'à disons 10^20 (et non pas 10^6), tu vas très probablement battre le record de n=163.


C'est fort possible effectivement mais ça prend du temps et ce n'est pas très épanouissant intellectuellement de lancer une boucle et d'attendre que les résultats tombent.
Ce qui serait beau ce serait de comprendre le pourquoi du comment ou du moins d'avoir ne serait ce qu'une mince idée de la chose.
Pour le moment, j'en suis au stade de constater que ces presque entiers arrivent comme un cheveu sur la soupe. J'ai essayé en vain (cf les commentaires du tableau) de dresser un portrait de ces entiers en analysant leurs décompositions en facteurs premiers.
Il n'y a rien d'évident qui ressort de tout ceci.
Le seul fait troublant (mais il s'agit sans doute d'une simple coïncidence) c'est que les nombres premiers irréguliers (ceux qui divisent le numérateur des nombres de Bernoulli) sont souvent de bons candidats pour engendrer des presque entiers.
exemples :
************
qui exploite le nombre premier irrégulier
qui exploite le nombre premier irrégulier

Le plus fort dans cette affaire, c'est qu'en formant un entier avec ces deux nombres premiers irréguliers, vous obtenez encore un nombre presque entier (et pas des moindres) :

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anthony_unac
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 21 Mai 2016, 20:50

J'en suis convaincu à présent, près d'un cinquième des presque entiers admettent un radicande dont la décomposition en facteurs premiers contient au moins un nombre premier irrégulier .
Voici donc la forme littérale de ces presque entiers :

Il ne faudra donc pas s'étonner de voir dans la décomposition en facteurs premiers du radicande au moins un de ces nombres :
37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, 607, 613, 617, 619, 631, 647, 653, 659, 673, 677, 683, 691, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 809, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 929, 953, 971, 1061 ...

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anthony_unac
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 28 Mai 2016, 20:54

Pour le moment, je ne parviens à mettre la main sur un meilleur presque entier que celui-ci :


=

La recherche continue mais ce n'est pas si évident !

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anthony_unac
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 29 Mai 2016, 23:11

Bonsoir,
Juste une paranthèse pour vous annoncer que Gerard Villemin, le créateur du site tout simplement génial de part sa simplicité et sa richesse d'informations : http://villemin.gerard.free.fr/index.html vient de citer le forum concernant cette discussion pour compléter ces infos relatives aux nombres presque entiers :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... .htm#presq

Romy
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par Romy » 30 Mai 2016, 00:41

Tu as un tel nombre en série : . A part approximer l'entier, l'application est la statistique.

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par Lostounet » 30 Mai 2016, 04:27

anthony_unac a écrit:Bonsoir,
Juste une paranthèse pour vous annoncer que Gerard Villemin, le créateur du site tout simplement génial de part sa simplicité et sa richesse d'informations : http://villemin.gerard.free.fr/index.html vient de citer le forum concernant cette discussion pour compléter ces infos relatives aux nombres presque entiers :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... .htm#presq


Bravo Anthony :D
J'aime beaucoup ce site et j'admire son auteur !

Félicitations
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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anthony_unac
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 30 Mai 2016, 07:53

Romy a écrit:Tu as un tel nombre en série : . A part approximer l'entier, l'application est la statistique.


Bonjour, que désigne au juste?

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 30 Mai 2016, 08:05

Lostounet a écrit:Bravo Anthony :D
J'aime beaucoup ce site et j'admire son auteur !

Félicitations


Merci, cela permet de diffuser sous plusieurs formes l'état d'avancement de la recherche de ces drôles de nombres ;)
D'ailleurs, pour remettre les choses dans leurs contextes, c'est grâce à Gérard Villemin que j'ai connu les nombres presque entiers. Ca m'a plu et j'ai voulu poursuivre son tableau.

Romy
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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par Romy » 04 Juin 2016, 21:48

terme de série est ainsi désigné des initiales du nom de son découvreur : Dean Hickerson. Tu as d'ailleurs un bouquin qui la mentionne sur Google books: "CRC concise encyclopedia of mathematics", de Eric. W. Weisstein.
Modifié en dernier par Romy le 04 Juin 2016, 21:51, modifié 1 fois.

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 12 Juin 2016, 09:06

anthony_unac a écrit:J'en suis convaincu à présent, près d'un cinquième des presque entiers admettent un radicande dont la décomposition en facteurs premiers contient au moins un nombre premier irrégulier .
Voici donc la forme littérale de ces presque entiers :

Il ne faudra donc pas s'étonner de voir dans la décomposition en facteurs premiers du radicande au moins un de ces nombres :
37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, 607, 613, 617, 619, 631, 647, 653, 659, 673, 677, 683, 691, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 809, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 929, 953, 971, 1061 ...


Hier soir, j'ai fini les tests sur l'ensemble de tous les premiers irréguliers figurant dans la liste ci dessus.
Il y en a précisément 14 dans cette liste qui produisent des nombres presque entiers (soit près d'un cinquième).
Certains de ce ces premiers irréguliers produisent au moins deux nombres presque entiers (cas de ). Ce nombre premier irrégulier admet (coïncidence) précisément un index d'irrégularité https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime#Irregular_indexégal à deux !?
De façon générale, la production de nombres presque entiers à tendance à diminuer avec l'augmentation du radicande . Une raréfaction qu'on pouvait déjà observer en étudiant les premières valeurs dans le tableau.

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 16 Juin 2016, 22:51

La recherche des nombres presque entiers de la forme s'avère très laborieuse au delà de c'est pourquoi je demande l'aide de tous les membres du forum pour avancer dans la recherche de tels nombres.
Si vous êtes intéressé par la recherche des nombres presque entiers dont la partie décimale commence par une répétition d'au moins fois le chiffre ou d'une répétition d'au moins fois le chiffre et que vous possédez le logiciel maple ou mupad ou équivalent, je vous invite à lancer une boucle de ce type :
Image
http://imagesia.com/?utm_campaign=lc&utm_medium=bbcode
(vous pouvez modifier le code bien entendu si vous trouvez qu'il est trop lent)
sachant que mon pc tourne tous les jours sur une boucle comprise entre et et un .
Vous pouvez donc vous lancer sur un intervalle complémentaire à celui que j'explore.
J'ai pris conscience que seul, je serai bien trop lent pour la recherche de tels nombres.
Plus il y aura de gens motivés et plus la recherche sera rapide.
Qui souhaite se lancer dans l'aventure ?
Modifié en dernier par anthony_unac le 28 Juin 2016, 17:34, modifié 2 fois.

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 25 Juin 2016, 16:38

Bonjour,

Aujourd'hui, je viens de finir l'exploration de toutes les valeurs du radicande comprises entre et .
Le nombre de nombres presque entiers de la forme est conforme à ce que l'on pouvait prévoir à l'aide des probabilités en considérant que la probabilité d'apparition d'une décimale donnée est égale à . En revanche, en observant le tableau ci-dessous, on peut être surpris par le coté non homogène (voir aléatoire) de la façon dont ils apparaissent.
A titre d'exemple, les premières valeurs de l'intervalle observé fournissent nombres presque entiers soit de la production totale de nombres presque entiers de l'intervalle !?
A contrario, on retrouve des "déserts d'improductivité" à l'image de l'intervalle
Image

Faut il pour autant s'étonner d'un tel résultat ?

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 29 Juin 2016, 23:08

Voici une piste (peut être vaine) :

Il existe des nombres presque entiers de la forme tels que soit précisément un nombre premier de pythagore
De tels nombres peuvent se réécrire sous la forme :


On peut alors reconnaître que est l'écriture du module d'un nombre complexe . En notant ce module, il vient :

Cette dernière écriture rappelle à un près l'écriture d'un nombre complexe :

or donc
En prenant des exemples numériques concrets tels que :
ou encore on observe que la valeur de nous donne un nombre complexe dont la partie réelle est très proche de (tiens donc encore un presque entier) et la partie imaginaire est proche de zéro. Cela revient à dire que l'argument du nombre complexe créé .
ssi

Néanmoins ce critère ne semble pas suffisant pour générer des nombres presque entiers.
Prenons le premier de Pythagore
Le nombre complexe qui lui est associé est égal à :
Ce nombre admet une partie réelle proche de 1 et une partie imaginaire quasi nulle avec donc il devrait être un candidat idéal pour générer un nombre presque entier et pourtant :

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 05 Juil 2016, 17:35

Je reste un peu perplexe face aux nombres presque entiers de la forme avec et deux entiers naturels non nuls.
De tels nombres peuvent encore se réécrire sous la forme :
Le nombre complexe ainsi créé peut se réécrire sous forme algébrique :

Sachant que avec entier naturel non nul et un réel, il vient :

En développant, on obtient :

Il est alors possible de simplifier cette expression ainsi :


Autrement dit, tous les nombres presque entiers de la forme peuvent se réécrire sous la forme

Sauf que tout ceci est faux et je n'arrive pas à comprendre ou est ce que ça déraille ?!

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 10 Juil 2016, 10:45

Une personne m'a expliqué d'ou provenait l'erreur.
Elle vient du fait que la relation :
est fausse quand et sont des nombres complexes.

Autrement dit,

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 15 Juil 2016, 18:12

Bonjour,

Aujourd'hui je découvre un nombre presque entier qui possède une partie décimale commençant par une répétition de fois le chiffre :

Si on fait un point sur tous les nombres presque entiers de la forme qui possèdent une partie décimale commençant par au moins fois le chiffre ou fois le chiffre , on obtient la liste suivante :







Il est difficile de déterminer les valeurs de tel que soit un nombre presque entier. Néanmoins, il y a tout de même quelquechose de frappant au regard de cette liste, c'est que chaque valeur de peut se réécrire sous la forme :
avec entier naturel et premier.
Effectivement,






De façon littérale, cela revient à s'intéresser aux nombres de la forme
Quelqu'un a t il croisé cette expression un jour ?
Pour ma part, (cas ou ) ne m'est pas inconnu.
Toutes les idées sont bonnes à prendre sur le sujet.
Modifié en dernier par anthony_unac le 30 Juil 2016, 10:17, modifié 1 fois.

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Re: La constante de Ramanujan est elle la + proche d'un enti

par anthony_unac » 28 Juil 2016, 17:24

Bonjour,
Hier, Maple a mis la main sur un nombre presque entier commençant par fois .
Il s'agit de *.
Il s'agit du premier presque entier d'au moins zéros ou neufs qui ne possède pas un radicande de la forme
Cette forme n'est donc pas la seule permettant de générer des nombres presque entiers.
Je repars donc sur une feuille totalement vierge concernant ces drôles de nombres (presque entiers) qui semblent obéir à aucune règle simple :cry:

PS: *En soustrayant à ce nombre, vous obtenez alors un presque entier commençant par une répétition de fois le chiffre zéro.

 

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