Notion de divisibilité sur d'autres ensembles que les entier

[rikoo]

Bonjour,
Je suis tout nouveau, je viens juste de m'inscrire. J'ai une question auquel je n'arrive pas à trouver de réponse. Je me suis demandé si les nombres complexes ont des diviseurs, j'ai fait donc quelques recherches et je n'ai absolument rien trouvé (je n'ai peut-être pas utilisé les bons mots clés). Du coup je me suis demandé si la notion de divisibilité s'étendait aux réels et à nouveau je n'ai rien trouvé.

J'ai donc regardé la notion de diviseur de wikipédia qui ne parle que d'entiers, mais le lien hypertexte de la notion de divisibilité attire mon attention. Dès l'introduction il est marqué que la notion de divisibilité peut s'étendre à tout anneau commutatif, malheureusement pour moi les anneaux c'est le grand inconnu. Mais de ce que j'ai compris cela veut dire qu'il faut que la loi de commutativité soit respecté. Or c'est le cas pour les réels et les nombres complexes.

D'ailleurs, sur l'article de divisibilité ils disent qu: "si a et b sont deux éléments d'un anneau A, b divise a si et seulement s'il existe un élément c de A tel que a = bc. On dit alors que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a"Du coup je me demandais si cela veut dire que n'importe quel nombre réel/complexe est divisible par n'importe quel nombre réel/complexe?

Donc voilà, tout ça pour vous demander si la notion de diviseurs s'étend aux réels et aux complexe?

Merci d'avance

P.S: J'espère avoir respecter la charte du forum et avoir fait suffisamment de recherches, sinon merci de me l'indiquer

[Sylviel]

Bonjour,

question intéressante. La réponse courte est oui, la notion de divisibilité s'étends aux réels et complexe. Mais elle n'y est pas très intéressante : tout est (presque) divisible par tout.
"si a et b sont deux éléments d'un anneau A, b divise a si et seulement s'il existe un élément c de A tel que a = bc"
soit a et b deux réels, que vaut le c (si il est défini) ?

En revanche la notion s'étends aux polynomes.
X²-3X+2 =(X-1)(X-2)
Donc b=(X-1) divise a=X²-3X+2 (que vaut le c ?)

Je te laisse chercher d'autres exemples de polynomes qui en divise d'autres. Si cela t'intéresse tu verras qu'on peut faire une division de polynome (comme tu as appris la division à la main en primaire).

[rikoo]

Merci de ta réponse,

J'avais déjà vu la division de polynôme sur internet.
Donc du coup, cette notion est inutile.
Vu que la division de deux réels donne forcément un réel, tout les réels sont possibles

Mais si on restreint, et on dit que le c doit être un entier ou bien pour les complexes que c=a+ib avec a et b entier.
La notion pourrait donc être intéressante? Voire utile?

[Ben314]

Mais si on restreint, et on dit que le c doit être un entier ou bien pour les complexes que c=a+ib avec a et b entier.
La notion pourrait donc être intéressante? Voire utile?

Notion on ne peut plus intéressante.
Les complexes de cette forme sont appelés Entiers de Gauss et, historiquement parlant, c'est justement un peu de là qu'est parti la notion d'anneaux "quelconque" et de divisibilité dans ces anneaux là (avec la découverte, plus tard, qu'ils ne sont pas tous logés à la même enseigne...)

La notion de "divisibilité" sur les réels en prenant comme définition "le réel a divise le réel b lorsqu'il existe un entier k tel que b=ka" est aussi "un peu" intéressante et elle est liée à la notion de sous groupe additif ou, de Z-module (ce qui e fait est la même chose).

[rikoo]

Merci de ta réponse, je vais regarder ce que tu m'as envoyé. Malheureusement je ne vois pas tous qui est anneau et tout dans ma formation

[Ben314]

En bref, un anneau, c'est un ensemble sur lequel tu sait faire des additions/soustraction "comme d'habitude" ainsi que des multiplications "comme d'habitude", mais où, à priori, tu ne sait pas faire de division de n'importe quel élément par n'importe quel autre. Le modèle le plus simple, c'est sans doute celui des entiers relatifs Z, mais il y en a des tas d'autres.

[rikoo]

D'accord, mercii ^^