0,999.. Entier Naturel?!

[beagle]

Une question!
Si on a 0,9999... = 1, alors 2 * 0,999.. = 2
1,999..8 = 2 :S?
Mais 2 = 1,9999...!?

pour que cela se termine par 8, faudrait que tu ais fini ta multiplication,or cela ne fini jamais,
donc si tu veux la poser comme en primaire, il faut la poser de gauche à droite,
0,99999...
x
2
=
............
.....18
....18
...18
..18
.18
18
1,9999........

[Lostounet]

Mais mais?
0,999 * 2

2 * 9 = 18 , je pose 8 et je retiens 1

0,....8

2 * 9? = 18, + 1, 19
Donc ça va enchainer plein de 9, mais un 8 à la fin..!?

[Ben314]

Non : ce qui est vrai c'est que :
2*0.9=1.8
2*0.99=1.98
2*0.999=1.998
Mais, pour 2*0.999... avec une infinité de 9, où veut tu que soit le 8 dans le résultat ? (réponse : il n'y as pas de 8 dans le résultat...)

[Lostounet]

pour que cela se termine par 8, faudrait que tu ais fini ta multiplication,or cela ne fini jamais,
donc si tu veux la poser comme en primaire, il faut la poser de gauche à droite,
0,99999...
x
2
=
............
.....18
....18
...18
..18
.18
18
1,9999........

Euh... moi je fais de droite à gauche!! :id:

346
* 3

Trois fois 6, 18, 8 et je retiens 1.
Trois fois 4, 12, + 1, 13, 3 ..

[Lostounet]

Non : ce qui est vrai c'est que :
2*0.9=1.8
2*0.99=1.98
2*0.999=1.998
Mais, pour 2*0.999... avec une infinité de 9, où veut tu que soit le 8 dans le résultat ? (réponse : il n'y as pas de 8 dans le résultat...)

Il y aura toujours une place pour un 8, qu'on mettra à la place du "dernier 9". :hein:

[Ben314]

Peut tu me dire qui est le "dernier" entier naturel ?

[Lostounet]

Non..! Malheureusement.. :ptdr:

[beagle]

Euh... moi je fais de droite à gauche!! :id:

346
* 3

Trois fois 6, 18, 8 et je retiens 1.
Trois fois 4, 12, + 1, 13, 3 ..

tu fais de droite à gauche car tu connais les chiffres de droite,
mais dans le cas présent tu seras autorisé à mettre 8 dès que tu nous auras ramené le dernier 9,
ce qui va nous laisser des loisirs :we:

[Lostounet]

Mais dans 0,99... je sais effectivement qu'il y aura que des 9! Donc ça devrait être faisable.. :P

MODIF:
J'aurai pu comprendre ta réaction si on avait à multiplier ;)2 par 2, par exemple (cas d'un irrationnel). Dans ce cas, OK.
Mais là, on a un "irrationnel régulier", par hypothèse.

[Skullkid]

C'est pas pour ça que tu pourras nous montrer le dernier 9 de 0.99..., le concept d'une suite infinie c'est précisément qu'elle n'a pas de dernier élément.

[beagle]

je ne sais pas bien jouer avec l'infini, souvent eu des surprises,
mais bon, ce que tu fais là est une multiplication par deux,
tu additionnes donc les 0,999999....+ 0,999999...
quand mème plus facile pour un humain de commencer à gauche,
mais toi tu n'as toujours pas dit où tu avais trouvé le dernier 9 pour commencer à droite,...

[Lostounet]

Mais ce dernier élément devrait exister quelque part, pour qu'on puisse passer "au nombre suivant" (dans ce cas, 1). (Permettez-moi cet affreux abus de langage).
Si tu vois ce que je veux dire ??

[Ben314]

Lostounet , comme tout le monde s'acharne sur toi, je vais essayer de te remonter le moral :
Je trouve ça EXTREMEMENT SAIN que tu ait des problèmes avec cette infinité de 9 que l'on met là, comme si ça pouvait tenir sur une feuille de papier...
Quasiment tout les matheux. actuels (tu le vois ici) acceptent sans broncher cette idée (pouvoir mettre une infinité de 9 'pour de vrai')
Si ça peut te rassurer, le premier avoir osé faire ce genre de chose (on parle d'infini "actuel") était Cantor (cela date seulement d'un peu plus d'un siècle).
Quasi tout les autres matheux de l'époque l'on traité de fou et il a fini sa vie.... fou...

Tout ça pour dire que ces "nombres" ne fonctionne quand même pas complètent comme des nombres normaux. Par exemple, tu dit toi même que pour faire une addition, on commence par la droite sauf que là, il n'y a pas de droite....

P.S. : 1 n'est pas le suivant de 0.9999... car il sont égaux.

[Lostounet]

Lostounet , comme tout le monde s'acharne sur toi, je vais essayer de te remonter le moral :
Je trouve ça EXTREMEMENT SAIN que tu ait des problèmes avec cette infinité de 9 que l'on met là, comme si ça pouvait tenir sur une feuille de papier...
Quasiment tout les matheux. actuels (tu le vois ici) acceptent sans broncher cette idée (pouvoir mettre une infinité de 9 'pour de vrai')
Si ça peut te rassurer, le premier avoir osé faire ce genre de chose (on parle d'infini "actuel") était Cantor (cela date seulement d'un peu plus d'un siècle).
Quasi tout les autres matheux de l'époque l'on traité de fou et il a fini sa vie.... fou...

Tout ça pour dire que ces "nombres" ne fonctionne quand même pas complètent comme des nombres normaux. Par exemple, tu dit toi même que pour faire une addition, on commence par la droite sauf que là, il n'y a pas de droite....

P.S. : 1 n'est pas le suivant de 0.9999... car il sont égaux.

J'ai beaucoup de mal à concevoir que ce "nombre" n'ait pas de "droite". Je sais bien qu'il y a un 9 aux dixièmes, un 9 aux centièmes, un 9 au n-ième etc.
Je ne sais pas quand ça se termine, mais je suis sûr que.. eh bien ... ça se termine (J'ai mal pris mon exemple de 1, je sais, mais bon, prenons le cas 4,99.. = 5, on ne pourra passer à 5 qu'après avoir "épuisé les chiffres")

Et 2 * 0,999...
C'est 0,999.. + 0,999, donc tous les 9, même s'il y en a une infinité, se "superposeront" et quand on arrivera au bout.. On aura un 8?!
Si mon raisonnement est incorrect: Pourquoi, et en quoi le 0,999 diffère-t-il des autres nombres??

[Ben314]

... mais je suis sûr que.. eh bien ... ça se termine

Et bien non, 'ça' ne se termine pas (c'est en fait la définition de l'infini...)

...après avoir "épuisé les chiffres"

Idem : par définition, l'infini ne sépuise pas : j'enlève un élément... il en reste autant qu'avant !!!

...on arrivera au bout...

Pas de bout.!!!

...en quoi le 0,999 diffère-t-il des autres nombres

Il ne différe pas des autres nombre, c'est simplement une autre façon d'écrire le nombre 1.

Essaye de te dire que la différence entre 0.999... et 1 est la même qu'entre et : c'est deux façons différentes d'écrire le même nombre.

[Skullkid]

Comme l'a dit Ben, c'est normal d'avoir des problèmes avec l'infini (d'ailleurs l'infini se comporte souvent de façon surprenante ou contre-intuitive). Mais ce qu'il me semble important de comprendre, c'est que 0.999... est une notation qui signifie, en substance, "le nombre duquel je me rapproche de plus en plus si j'ajoute de plus en plus de 9 à droite de la virgule". Après on peut rendre cette définition rigoureuse avec la notion mathématique de limite.

Le tout est d'arriver à se détacher de son intuition (ce qui n'est pas chose aisée !) et d'accepter l'existence d'objets qui semblent un peu bizarres... mais plus tu avanceras dans tes études, plus tu rencontreras de ces objets. Il y en a de particulièrement monstrueux ^^

[Lostounet]

Et bien non, 'ça' ne se termine pas (c'est en fait la définition de l'infini...)Idem : par définition, l'infini ne sépuise pas : j'enlève un élément... il en reste autant qu'avant !!!Pas de bout.!!!Il ne différe pas des autres nombre, c'est simplement une autre façon d'écrire le nombre 1.

Essaye de te dire que la différence entre 0.999... et 1 est la même qu'entre et : c'est deux façons différentes d'écrire le même nombre.

Je comprends mieux maintenant Merci :id: !!! J'ai trouvé une autre façon pour me l'approprier:

Quand on a x = 0,999...
10x = 9,999... Cette multiplication par 10 n'a pas "diminué un 9 de droite"
100x = 99,999... (idem)

On peut prendre autant de 9 qu'on veut :id:
C'est aussi comme "il y a autant de points dans une demi droite que dans une droite" (exemple donné par Svear sur mon autre topic).

On pourra prolonger l'un et l'autre indéfiniment, sans trouver de réponse finale. Quand on fait 0,99.. + 0,99.., Je pourrai toujours "prolonger" l'un et l'autre.

C'est ça? Ou je dis des cochonneries?

[Ben314]

En ce qui me concerne, cela me va parfaitement....

[Lostounet]

Yop! ça devrait aller avec tout le monde aussi! :P

0,999.. * 2
0,999..8 OK, -->
Mais on pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
Etc, etc...!

[Ben314]

On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!
On pourra toujours prendre ENCORE PLUS de 9, le 8 deviendra un 9, on tombera sur un autre 8. Mais on pourra toujours prolonger!

C'est tout à fait ça : tu écrit cela une infinité de fois et tu en déduit... qu'il n'y as pas de 8... :zen:

Je déconne. Ton raisonnement me parrait trés "sain" : c'est un peu un raisonement par l'absurde (s'il y avait un 8 là alors... il ne serait pas là)