0,999.. Entier Naturel?!

[Lostounet]

On ne nous l'a jamais appris :S Ils se content de nous donner que l'essentiel en maths, au collège, ce qui est très dommage!! :@
Merci de ta contribution ;)

[Ben314]

Si tu veut mon avis, cela fait partie des "choses que l'on ne dit pas" car

1) Pour toutes les applications "pratiques" des math., donner une "précision infinie" (c'est à dire tout les chiffres aprés la virgule) est... sans queue ni tête : Donnerait tu la longueur d'un terrain de foot (en métres) avec 10 chiffres aprés la virgule ? (et ici on parle d'une infinité de chiffres).

2) Pour des raisons "pédagogiques", je pense que dans beaucoup de "petites têtes blondes", tu risque beaucoup plus de faire des dégats que de les éclairer sur la nature des réels.

3) Au niveau "math. théoriques", le fait de pouvoir écrire le développement décimal d'un réel.... n'a que trés peu d'intérêt, la base 10 n'a aucun avantages particulier par rapport à une autre base (et, par exemple en base 3, 1/3 aurait 2 écritures alors qu'il n'en a qu'une en base 10). Le fait de "voir" les nombres sous forme de développent décimaux est, historiquement assez récents (chiffres arabes + apparition de la virgule pour parler de nombres plus petit que 1) : chez les grecs ou les romains le fameux "paradoxe" n'existait pas car la seule façon qu'ils avaient d'écrire 1/3 est de l'écrire.... 1/3 donc pour leur "présenter" le paradoxe :
"n'est il pas surprenant que 3x0.33333....=1"
il aurait fallu leur dire
"n'est il pas surprenant que 3x1/3=1"
forçément ça fait nettement moins "paradoxe".....

[Lostounet]

Mais finalement, les curieux savent où chercher je pense lol :P
Bon, je vais y aller moi, je reviens demain peut-être! :)
Merci à tous!

P.S: Encore désolé Ben de ne pas avoir eu le temps d'élaborer un peu plus, mais on pourra en parler plus tard?

[Sve@r]

Pour rajouter une "pierre" à l'édifice, j'ai vraiment l'impression que ce qui pertube beaucoup de gens c'est qu'ils pensent (à tort) qu'un réel n'admet qu'une seule écriture décimale.
Le plus perturbant (peut être) étant que l'ensemble des réels qui admettent plusieurs écritures décimales (ho, les méchants...) sont ... les décimaux (donc en particulier les entiers).
1/3, racine(2) ou pi sont quand à eux des "gentils" : ils n'ont qu'une seule écriture décimale.

Finalement je trouve cela plus harmonieux (philosophiquement parlant). En effet, jusqu'à présent on avait 2 types de fractions
- les fractions entières 4/2; 6/3; etc
- les fractions infinitésimales 1/3; 20/7; etc

Maintenant, toutes les fractions sans exceptions donnent un nombre à virgule se poursuivant à l'infini. 6/3 = 1.99999999... C'est beaucoup plus harmonieux non ??? Plus "uni"...
Finalement c'est bien construit. Celui qui cherche à trouver une signification aux choses et aux relations mathématiques trouvera son contentement en constatant que toutes les fractions sont identiques autant dans leur nature que dans leur résultat. Et celui qui a besoin du nombre de façon utile utilisera l'écriture classique 6/3=2

[Alpha]

Gaffe Sve@r, Timothé a failli ètre transformé en pierre à jamais pour avoir oser défier Alpha sur ce sujet,
n'empèche leur dialogue était passionnant,
faites une recherche c'est pas vieux,...

:ptdr:

Je vous rassure tout de suite, je ne compte statufier personne pour le moment... :zen:

Juste une petite remarque : l'essentiel de ce qui a été dit ici sur l'égalité 0,999... = 1, à savoir :

- l'argument selon lequel il n'y a aucun nombre entre 0,999... et 1
- 0,999... est par définition la somme d'une série qui vaut 1
- 0,999... est le développement décimal impropre de 1

se trouvait déjà dans la discussion évoquée par beagle et retrouvée par Lostounet. :lol4:

Mais bon, ça ne peut pas faire de mal de réexpliquer les choses. :happy3:

[Alpha]

C'est pas mal :++: Mais quand je disais "existe-t-il réellement", c'est plus dans le sens "peut-on avoir un calcul qui donne ce nombre comme résultat ?"

0,999... EST 1, par conséquent, on peut avoir ce nombre comme résultat de plein de calculs : 3*1/3 par exemple... :lol4:

C'est juste une écriture différente de 1, qui est justifée effectivement par le fait que la série des vaille 1. On peut aussi la justifier par le fait que 1 = 3 * 1/3 = 3* 0,333... = 0,999...

Remarquons quand même que le cas de 0,333... et celui de 0,999... ne sont pas tout à fait les mêmes : 0,333... est le développement décimal propre du rationnel 1/3, alors que 0,999... est le développement décimal impropre de l'entier 1, dont le développement décimal propre est 1,000...

Alors si tu veux on pourrait dire que ce n'est pas un nombre en soi, juste une écriture. D'ou le fait qu'on dise qu'un nombre (entier) a deux écritures.

Vrai, mais ça ne se limite pas qu'aux entiers. En effet, 2,5 = 2,4999... On peut donc étendre cette propriété à tous les nombres décimaux (c'est-à-dire tous les nombres dont le développement décimal propre est stationnaire à 0 à partir d'un certain rang), et il est clair que ce sont les seuls vérifiant cette propriété.

Au passage, le fait que tout réel admette un développement décimal (on peut prouver que tout réel admet un développement décimal propre) est une preuve que tout réel est la limite d'une suite de rationnels. Nous admettons tous l'existence d'un tel développement lorsque nous écrivons un réel sous la forme a,a1a2a3a4..., et admettons donc tous longtemps avant de l'avoir prouvé (et de nous en rendre compte) que tout réel est limite d'une suite de rationnels.

[benekire2]

@ lostounet Ils te donnent " l'essentiel " parce que c'est général ... mais tu en sais déjjà bien plus, et continue comme cela, ça fait plaisir de voir des gens qui s'intéressent aux maths en 3ème ! Je me rappelle du topo factorisation que tu avais ouvert ...

Discussion très intéressante.
Je vousdrais simplement dire que ça n'a jamais choqué que 1.0000000000000... soit un entier ... alors moi ça ne me choque pas non plus que 0.999999999999... le soit également. Après, la conception des nombres c'est pas hyper évident, car pour moi, les nombres restent des objets mathématiques, et on devrait pas trop se poser la question de savoir si ce nombre existe ... puisque même mis sous la forme 0.9999 ... il admet une période et est donc au minimum rationnel, et on a ensuite montrer qu'il est entier naturel ..

My 2 cents

[Lostounet]

Merci beaucoup de votre participation :)

[Lostounet]

Ce topic est passé ici!? O_o

[laquestion]

il y a quand meme une arnaque dans les deux démonstrations "numériques" qui stipule que les operations sur des décimaux (déplacement de la virgule, ou multiplication par 9) s'etendent au non décimaux. On est obligé de revenir à la construction des réels pour démontrer (ou "justifier" selon la construction choisie) ces considerations.de toute façon ça dépasse le collège-lycée.
d'ailleurs pour dépasser encore plus, je me demande ce que l'analyse non standart dit de l'approche "il n'y aurait aucun nombre entre 0.99999... et 1". je n'y connais vraiment rien dans le domaine. peut être quelqu'un peut dire quelque chose à ce sujet ?

[Lostounet]

Ben naturellement.. Ce sont des réels. Je n'ai pas trop compris là?

[Ben314]

Je me demande ce que l'analyse non standart dit de l'approche "il n'y aurait aucun nombre entre 0.99999... et 1".

Ce que te répond celui qui a fait de l'analyse non standard c'est :
Ca dépend combien tu met de 9 aprés la virgule.
En analyse non standard, tu peut en mettre où est un entier non standard, dans ce cas, 0.9999...9 (avec neufs) est infiniment proche de 1 (i.e. sa différence avec 1 est plus petite que l'inverse de tout les entiers standards) par contre ce nombre est différent de 1.
Fondamentalement, il n'y a pas une grosse différence avec (avec zéros) qui est infiniment proche de 0 sans être nul...
Evidement, si tu met un "nombre" de 9 égal au cardinal des entiers non standards (mais ce n'est pas comme cela qu'il faudrait le dire...) alors le nombre est égal à 1.

[Ben314]

il y a quand meme une arnaque dans les deux démonstrations "numériques" qui stipule que les operations sur des décimaux (déplacement de la virgule, ou multiplication par 9) s'etendent au non décimaux. On est obligé de revenir à la construction des réels pour démontrer (ou "justifier" selon la construction choisie) ces considerations.de toute façon ça dépasse le collège-lycée.

Pour le collège : O.K, mais pour le lycée (une fois vues les limites de suites) , c'est parfaitement abordable :
Pour donner une définition "carrée" à une écriture décimale c'est assez simple. Donnons un exemple :
Je veut définir "carré-carré" le réel 0.12121212... (période 12).
Je considère la suite réelle :
u1=0.1
u2=0.12
u3=0.121
u4=0.1212
u5=0.12121
....etc
Cette suite est clairement croissante et majorée (par 1 par exemple) donc grâce au théorème vu en ??? elle admet une limite. (je le concède, ce théorème est évidement... admis)
Il suffit de dire que, par définition, ce que l'on note 0.12121212... est la limite de cette suite.

Je te laisse essayer de prouver (ce n'est pas trés dur) en utilisant cette définition que l'on a effectivement :
10x0.12121212... =1.212121....
et, (toujours avec la définition) que 0.999......=1

[laquestion]

[quote="Ben314"]
Cette suite est clairement croissante et majorée (par 1 par exemple) donc grâce au théorème vu en ??? elle admet une limite. (je le concède, ce théorème est évidement... admis)
si je ne me trompe pas il provient directement de la ...construction des réels. si on admets aucun résultat ça dépasse de très loin le cadre du lycée.

[laquestion]

Cette suite est clairement croissante et majorée (par 1 par exemple) donc grâce au théorème vu en ??? elle admet une limite. (je le concède, ce théorème est évidement... admis)

si je ne me trompe pas il provient directement de la ...construction des réels. si on admets aucun résultat ça dépasse de très loin le cadre du lycée.

[Ben314]

Tout à fait, mais que ce théorème soit "admis" ne me dérange pas vraiment.
Je fait parti de la génération "math moderne" à l'école et j'ai vu les ravages que provoquaient la définition en 4em des vecteurs comme "classe d'équivalence des bipoints par la relation d'équipolence" (et idem pour les quotients)
Je trouve donc normal d'admettre certain résultats qui "semblent naturels" (???) et dont la preuve passerait pour 99% des lycéens pour du charabia complet.
Là ou on voit quand même que je suis un vieux con, c'est que je trouve que ces derniers temps, "ils" en admettent quand même un peu trop...

P.S. tout mon post ci dessus était là pour dire que en admettant le fameux théorème, on peut faire faire un petit D.M. a des terminales sur le "paradoxe".

[laquestion]

je suis moi aussi pour l'admission! (à condition bien sur qu'on en ai conscience).
d'ailleur en admettant que le décalage de la virgule se prolonge au reel dans la multiplication par dix la preuve est de niveau collège.

[alavacommejetepousse]

j'ai vu les ravages que provoquaient la définition en 4em des vecteurs comme "classe d'équivalence des bipoints par la relation d'équipolence" ".

je suis d accord alors qu il suffisait de parler d 'élément d 'un K ev à gauche :we:

[Lostounet]

Une question! :P
Si on a 0,9999... = 1, alors 2 * 0,999.. = 2
1,999..8 = 2 :S?
Mais 2 = 1,9999...!?

[Nightmare]

Et les retenues ? :lol3: