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14/08/2006, 19h26	#31
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Effectivement, à partir d'un entier, 1 par exemple, on peut, en cherchant les antecedents de tout ordre, obtenir $\mathbb{Z}$ et à partir de cela obtenir tous les nombres de la forme $\frac{1}{k}$ et ensuite avec une nouvelle fois $\mathbb{Z}$ on à $\mathbb{Q}$ je pense. Concrètement je ne sais pas trop tout ce que cela implique mais si on connaît $f$ sur $\mathbb{Z}$ et sur l'ensemble des $(\frac{1}{k})_{k\in\mathbb{N^*}}$ alors on connaît $f$ sur $\mathbb{Q}$ et par continuité sur $\mathbb{R}$ . __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

14/08/2006, 19h34	#32
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Par récurrence on a aussi : $f(n)=f(1)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(\frac{1}{k})$ et puisque $f\rightarrow f(1)$ en l'infini, on peut en déduire que $\sum\limits_{k=1}^{\infty}f(\frac{1}{k})=0$ mais on ne sait rien il me semble sur le signe de $f$ ... Si tu repasses par là Geta, dis moi d'où tu sors ce probleme STP __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José Dernière modification par tize 14/08/2006 à 19h56.

16/08/2006, 14h33	#33
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Pour résumer on a pour l'instant 5 zéros pour un telle fonction : $\{-\Phi ; -1 ; 0 ; \frac{1}{2} ; \Phi^{-1}\}=A$ et avec la relation : $f(\frac{1}{x}+1)=f(x+1)$ on peut en déduire que si $y\in A$ alors $f(\frac{y}{y-1})=0$ et donc $\frac{y}{y-1}$ est aussi un zéro. Si je note $B$ l'ensemble des zéros de $f$ alors on peut écrire $A\subset B$ si on note $g:y\mapsto\frac{y}{y-1}$ alors $(A\cup g(A))\subset B$ . On pourrait définir $A_1=A\cup g(A)$ et ainsi de suite $A_n=A_{n-1}\cup g(A_{n-1})$ . La première question est : est ce que cette suite $(A_n)$ est strictement croissante ? On pourrait si c'est le cas définir une infinité de zéros pour $f$ et avec un peu de chance si ces zéros sont denses dans $\mathbb{R}$ ... enfin avec la continuité vous voyez la suite ... Qu'en pensez-vous ? Si tu repasses par là Geta, dis moi d'où tu sors ce probleme STP __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

16/08/2006, 14h44	#34
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Bon je retire ce que j'ai écrit précédement en fait avec ma méthode ça ne marche pas du tout puisque $g(A)=A$ et donc $A_n=A$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

16/08/2006, 15h23	#35
alben Membre Complexe Date d'inscription: mai 2006 Messages: 1 173	Bonjour, Tu n'as pas laché l'affaire ? Si au moins on pouvait trouver une fonction pour laquelle ça marche ! Dans le message 21, j'avais trouvé une fonction qui vérifiait f(1/y)=f(x)-f(x+1). Il doit bien y avoir un moyen de la modifier pour inverser le signe ?

16/08/2006, 15h49	#36
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Tu veux parler de la fonction $x\mapsto\frac{x^2-x+1}{x-1}$ ? Parce que j'ai fait le calcul avec cette fonction et il me semble bien (sauf erreur de calculs) que elle ne vérifie pas f(1/x)=f(x)-f(x+1). __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

16/08/2006, 16h31	#37
alben Membre Complexe Date d'inscription: mai 2006 Messages: 1 173	Oui, tu as raison, je ne sais pas ce que j'ai fait ce jour là

16/08/2006, 21h56	#38
geta Membre Naturel Date d'inscription: août 2006 Messages: 5	Chers tous, je suis flatté de l'intérêt que vous portez à ce "problème" qui, vu la longueur de son énoncé ressemble plus à une question ou à un exercice. D'où sort-il? A mes moments perdus (de moins en moins nombreux) je m'amuse avec la fonction zeta (de Riemann, oui,oui) et je pense avoir trouvé un truc (pas difficile celui-là mais que je n'ai vu publié nulle part, trop facile peut-être) qui permet de générer tout un tas de formules (plus ou moins remarquables) avec la fonction zeta. Seulement voilà, pour trouver des formules carrément nouvelles, faut se coltiner des sommes du genre : SN = Somme (pour k entre 1 à N) de f(1/k) pour une fonction f choisie habilement et à l'avance. Si f(x) = 1/x, on peut écrire la somme partielle, idem pour f(x) = (1/x)^2....enfin bref, vous en trouverez tout un tas d'autres. L'idée suivante fut de dire f(1/N) = U(N+1) - U(N) où U(n) est une suite si possible exprimé sympathiquement avec des fonctions usuelles ou des récurrences manipulables. Le tout permettant peut-êre d'exprimer la somme partielle. Espoir. Et puis, si on prenait U = f...on n'aurait plus qu'à résoudre,(me dis-je innocemment) f(1/x) = f(x+1)-f(x). Et alors là, tout a commencé à se gâter : plus rien n'était simple. Je suis resté sur ce problème longtemps, sachant pertinemment que les équations fonctionnelles...ben c'est vraiment pas mon truc. J'ai tâtonné. J'ai eu quelques résultats partiels. Et puis je me suis dit que j'étais trop con (j'ai foutu mes résultats partiels à la poubelle) et que ce serait certainement facile pour d'autres. Et voilà. Bon courage à tous. PS : je crois que je n'ai qu'un seul résultat partiel à ajouter aux votres (sous réserve que je m'ai pas gourré) : f(3/2) = f(2) qui n'est rien d'autre qu'une redite de f(1/2) =0 (je m'en aperçois avec retard) La démarche était de choisir f sur [1,2] d'utiliser le résultat partiel (f(1+x)=f(1+1/x) pour la définir sur [2, + infini[ d'utiliser l'équation intiale pour la définir sur [0,1] de re-utiliser le résultat partiel pour la définir sur ]-infini,0] de révérifier morceau par morceau que l'équation intiale est vérifiée .... et tout ceci transforme une équation fonctionnelle sur f en plusieurs équations fonctionnelles sur f restreint à [1,2]. Que des trucs qui sont inesthétiques. Mais bon, vérifier la continuité de f donne quelques résultats. Finalement, je me suis dit que pour quelqu'un qui n'arrive pas à les résoudre, ce n'est vraiment pas une bonne idée de les multiplier, les équations fonctionnelles. Dernière modification par geta 16/08/2006 à 22h04.

16/08/2006, 22h10	#39
tize Membre Complexe Date d'inscription: juin 2006 Localisation: ailleurs Messages: 2 408	Ahh! Enfer et damnation.... nous n'aurons peut être jamais la reponse alors... Hooo !! Attendez, je crois que... mais oui j'ai réussi... mais le problème c'est que je n'ai pas assez de place pour ecrire la solution complète ni sur le forum ni sur la marge de mon cahier ... __________________ En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises... Cordialement José

16/08/2006, 22h17	#40
alben Membre Complexe Date d'inscription: mai 2006 Messages: 1 173	Bonsoir, Agrandit tes marges sinon il faudra encore attendre 300 ans pour avoir la réponse

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