Circuits dans un billard

[nodjim]

Je ne voulais pas être trop explicite :we:

Considère l'ensemble des quadruplets (A,B,C,D) sur le bord ( ne t'occupe pas de savoir si c'est une trajectoire de billard ou pas ) puis observe AB+BC+CD+DA qui dépend continûment du quadruplet choisit et atteint donc ses bornes ...

Je te laisse finir :zen:

Imod

Compris. Soit A, B et C, 3 points sur le pourtour. B est placé entre A et C. B sera alors déplacé au point tel que AB et AC auront le même angle avec la tangente en B. Si N points, on réalise l'opération à chaque triplet. Et c'est bien à une longueur maximale de polygone qu'on arrivera, quoique ce point n'est pas évident du tout à démontrer. Personnellement, je trouve que la solution dynamique, en faisant évoluer les points toujours dans le même sens, me plait mieux.

[Imod]

... Et c'est bien à une longueur maximale de polygone qu'on arrivera, quoique ce point n'est pas évident du tout à démontrer. Personnellement, je trouve que la solution dynamique, en faisant évoluer les points toujours dans le même sens, me plait mieux.

Si

Ce qui contredit la "minimalité" de .

Imod

[nodjim]

Si

Ce qui contredit la "minimalité" de .

Imod

Quelque chose me gêne. Tu ne prouves pas que B' possède la propriété qu'on cherche, ça serait même plutôt le contraire.La tangente en B' n'est plus la même qu'en B. Donc la symétrie d'angle est perdue.

[Imod]

Mon raisonnement est le suivant :

Je considère un trajet minimal ( possible pour des raisons de continuité et de compacité ) . Supposons maintenant que ce trajet ne soit pas celui d'une boule de billard alors , par exemple , les angles et sont distincts et la figure précédente montre une contradiction .

Imod

[nodjim]

Mon raisonnement est le suivant :

Je considère un trajet minimal ( possible pour des raisons de continuité et de compacité ) . Supposons maintenant que ce trajet ne soit pas celui d'une boule de billard alors , par exemple , les angles et sont distincts et la figure précédente montre une contradiction .

Imod

Pas encore convaincu. Si tu devais, à partir de ces 4 points ABCD positionnés au hasard sur le pourtour, tracer un cheminement d'une boule de billard, comment t'y prendrais tu ?

[Imod]

Pas encore convaincu. Si tu devais, à partir de ces 4 points ABCD positionnés au hasard sur le pourtour, tracer un cheminement d'une boule de billard, comment t'y prendrais tu ?

Je suis d'accord que la logique est un peu tordue :mur: mais elle fonctionne bien si on fait attention :doh:

Je reprends :zen:

On cherche une trajectoire de boule à quatre points , classique , c'est à dire avec angle d'incidence = angle de réflexion . On suppose ( par l'absurde ) qu'il n'en existe pas et on considère tous les quadruplets sur le bord ( sans occuper de savoir s'il s'agît ou non d'une trajectoire de boule ). La continuité de la fonction sur le bord à la puissance quatre et la compacité du même bord à la puissance quatre nous dit qu'il existe quatre points avec une somme minimale . Ces quatre points ne constituent pas par hypothèse une trajectoire de boule de billard , il existe donc deux angles mais alors on peut choisir B' sur le bord tel que :
: contradiction .

J'espère avoir été plus clair .

Imod

PS : une remarque au passage si on veut quatre point réellement distincts il vaut mieux choisir le max plutôt que le min de la fonction :zen:

[leon1789]

(hé l'eau hé l'eau, je débarque... mais c'est la faute d'Imod qui m'invite ici à 1 heure du mat ! :dodo: :zen: )

PS : une remarque au passage si on veut quatre point réellement distincts il vaut mieux choisir le max plutôt que le min de la fonction :zen:

Oui, le minimum étant 0, on a A=B=C=D... C'est périodique :zen:
Mais si tu prends le max, ton procédé (de minimisation) ne fonctionne plus dans ce cas. Je ne comprends pas vraiment.




-----

Personnellement, je trouve que la solution dynamique, en faisant évoluer les points toujours dans le même sens, me plait mieux.

:zen: Moi aussi : je préfère voir un passage à la limite d'un procédé de construction, plutôt qu'un raisonnement par l'absurde portant sur une situation connue pour ne pas exister. NIAK ! :ptdr:

[nodjim]

Entre 2 points A et D, il existe une trajectoire minimale qui passe par les points B et C, c'est quand B et C sont confondus avec A ou D. En reprenant l'algorithme de ton dessin, on repousse bien B vers C.
Si, maintenant on a pu placer B et C sur la trajectoire d'une boule de billard, celle ci est stable, on ne peut la raccourcir, là je suis d'accord.
Tout ça ne prouve pas néanmoins l'existence de B et C, étapes de la trajectoire d'une boule de billard qui démarre en A et finit en D.

[nodjim]

Bon, j'ai remis un peu d'ordre dans ma tête, j'explique ce que j'ai compris.
Ton dessin, Imod, prouve que le tracé de la boule de billard est le plus long possible entre A et C qui passe par un point intermédiaire B.
Maintenant, si on éloigne C de A, la flêche entre AC droite et la courbe augmente, donc B se déplace moins que C.
Si on a une multitude de points successifs répartis à peu près équitablement sur le pourtour, et qu'on veuille tracer une trajectoire de boule de billard, on va ajuster chaque point par rapport aux deux encadrants, en travaillant par triplets successifs: ABC, puis BCD, puis CDE, etc... après 1 tour complet, on recommence et on sait que le règlage sera plus fin, à cause de ce qui a été dit plus haut. On arrivera donc forcément à trouver la trajectoire idéale.

D'où le théorème suivant:
Soit un point fixe P sur le pourtour d'une figure convexe, et N-1 autres points, le Ngone le plus long inscrit dans la figure, qui passe par P, est celui dont 2 de ses cotés consécutifs quelconques ont des angles égaux avec la tangente au sommet correspondant.

[Imod]

Il me semble que c'est le type même de situation ou le raisonnement par l'absurde prend tout son sens :we:

Je joins une nouvelle figure car raisonner juste sur une figure fausse est un adage qui a tout de même ses limites :doh:



On considère un polygone à côtés tel que A, B , C , ... , Z soient des points du bord et tel que AB+BC+...+YZ soit maximal . Supposons par l'absurde que ABC...YZ n'est pas une trajectoire de billard alors il existe deux angles et le bord traverse en la parallèle à passant par . En prenant un point du bord en dehors de la bande définie par les deux parallèles on obtient qui est en contradiction avec l'hypothèse .

Dites moi en quels points cette démonstration est critiquable et je demande aussi aux défenseurs du constructivisme de me présenter une démonstration si possible encore moins critiquable :zen:

Imod

[ffpower]

aux défenseurs du constructivisme

Je me demande pourquoi tu emploies le pluriel..

[Imod]

Je me demande pourquoi tu emploies le pluriel..

Il me semble que sur ce fil il y a deux candidats , donc pluriel :we:

Imod

[Imod]

Soient A, B, C, D,...des points sur la circonférence du plan.
A est fixe et une trajectoire vise B puis par rebond atteint C et enfin D.
Si B est proche de A et s'en éloigne, C va aussi fuir, et D également. C va environ 2 fois plus vite que B, et D 3 fois plus vite que B. (valeurs justes sur un cercle parfait, et juste en moyenne pour un tour complet de B). Quand D rejoint A, on a fait un rebouclage en triangle.
Même raisonnement quelque soit le nombre de points.

Il est à noter qu'il existe un point sur le convexe, et un seul, tel que la perpendiculaire à la tangente passe par A. Lorsque B est à cet endroit tous les points suivants sont confondus soit avec A, soit avec B.

Une petite relecture et j'ai un doute :doh: Qu'est-ce qui assure que lorsque D devient A , les angles d'incidence et de réflexions soient les mêmes en A ?

Imod

[leon1789]

Dites moi en quels points cette démonstration est critiquable

Mathématiquement, elle n'est pas critiquable.
Méta-mathématiquement (?!), j'imagine deux critiques possibles (c'est une affaire de goût) :
-- le tout début de la preuve "Soit un polygone de périmètre maximal" est évidemment impossible à mettre en oeuvre concrètement (sauf dans des cas particuliers).
-- la preuve par l'absurde étudie une situation qui n'existe pas : est-ce "moralement" raisonnable ?

et je demande aussi aux défenseurs du constructivisme de me présenter une démonstration si possible encore moins critiquable :zen:

Imod

J'allais reprendre ta démo en enlevant certains passages et ajouter une autre fin, mais il y a quelque chose qui me chagrine... Je préfère donc reprendre l'argument complètement naturel de nodjim (que je vais expliquer autrement). Je dis "naturel" car il me semble que c'est un peu ce que l'on fait quand on joue nous-même au billard...
--

On fixe un point quelconque A sur le bord du billard : une trajectoire ABC...NO (non fermée) d'une bille est définie uniquement par le point B car les n-1 points suivants CD...NO sont créés selon la règle des angles d'incidence et de réflexions. Cela définit une application continue B -> AB...NO.
Sur le bord, on considère le point A' "en face" du point A tel que les tangentes au bord passant par A et A' soient parallèles.

On fait varier le point B de A vers A' suivant le bord dans un certain sens :
le point C varie continument dans le même sens de A à A (en passant par A')
le point D varie dans le même sens de A à A' (en passant par A' et A)...
le point O varie dans le même sens en passant fois par A.
Lorsque O se trouve en A, on obtient un parcours n-périodique (mais la période peut être plus petite). La première fois que O se trouve en A, la période est exactement n, ce qui répond au problème (avec point A fixé).

--
Dans certains cas, on peut imaginer avoir parcours dans un sens et dans l'autre sens.

[leon1789]

Dites moi en quels points cette démonstration est critiquable

Mathématiquement, je crois que " En prenant un point B' du bord en dehors de la bande définie par les deux parallèles on obtient AB'+B'C > AB+BC " est faux : ce n'est pas la droite parallèle à (AC) passant par B qu'il faut considérer mais l'ellipse de foyers A et C passant par B. Non ?

Méta-mathématiquement (?!), j'imagine deux critiques possibles (c'est une affaire de goût) :
-- le tout début de la preuve "Soit un polygone de périmètre maximal" est évidemment impossible à mettre en oeuvre concrètement en toute généralité. Un constructiviste n'aimera pas. Mais personne ici n'est extrémiste à ce point. De toute manière, il existe des exemples concrets où on peut déterminer un polygone de périmètre maximal. :zen:
-- la preuve par l'absurde étudie (comme d'habitude) une situation qui n'existe pas. D'ailleurs ta figure ne correspond pas à la situation étudiée, et pour cause... Bref, est-ce bien "raisonnable" d'étudier des choses qui n'existent pas, et non d'autres qui pourtant existent ? :id:

Pour moi, ta figure et ta preuve constituraient une preuve directe de la contraposée >

et je demande aussi aux défenseurs du constructivisme de me présenter une démonstration si possible encore moins critiquable :zen:

Imod

On peut essayer faire une preuve directe de trajectoire de bille >>. Je vais y réfléchir...

(Effectivement, la construction de nodjim a l'air de ne pas fonctionner à cause du dernier angle qui n'est pas assuré.)

[nodjim]

Rien ne prouve que AB'+B'C>AB+BC.
Le 1er dessin que tu as fait est très explicite, mais il me semble qu'il n'a pas été analysé comme il le mérite.
Tu avais bien trouvé un B' qui donnait un tracé plus court. Si en B', tu redessines la tangente, un C'' symétrique de cette nouvelle tangente, tu verras qu'en B", nouveau tracè plus court que par B', est plus éloigné que B' de B. Si tu continues, tu verras que tu te rapproches inéxorablement d'une extrémité A ou C. Cela prouve que la trajectoire boule de billard est le trajet le plus long.
J'espère avoir été clair, c'est important.

[nodjim]

Une petite relecture et j'ai un doute :doh: Qu'est-ce qui assure que lorsque D devient A , les angles d'incidence et de réflexions soient les mêmes en A ?

Imod

Critique juste.

[nodjim]

Ici, on est tous d'accord pour dire qu'il est impossible que le Ngone de longueur maximale soit autre chose que celui d'une boule de billard.

Donc, on devrait pouvoir dire: le Ngone inscrit dans un convexe a forcément une longueur maximale. donc c'est la trajectoire d'une boule de billard. Donc ça prouve son existence.

Mais pourquoi est ce que je n'arrive pas à accepter cela ?

[leon1789]

Preuve directe de trajectoire de bille >>

On considère un polygone ABC...N à n côtés tel que A, B , C , ... , N soient des points du bord et tel que AB+BC+...+MN+NA soit maximal.
Il faut montrer qu'en tout point, les angles d'incidence et de réflexion sont égaux. Par "symétrie", il suffit de le faire pour B.

L'ensemble des points Z tels que AZ+ZC = AB+BC est l'ellipse de foyers A et C et passant par B.

Je vole une image de http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/0107bill/01billard.html


Le périmètre AB+BC+...+MN+NA est maximal : cela signifie que, localement en B, de chaque coté de B, le billard se trouve à l'intérieur (au sens large) de l'ellipse. Donc la tangente (t) en B au bord du billard est la tangente à l'ellipse en B. Par propriété des ellipses, la normale (n) est bissectrice de l'angle : les angles d'incidence et de réflexion en B sont égaux.

[leon1789]

Donc, on devrait pouvoir dire: le Ngone inscrit dans un convexe a forcément une longueur maximale. donc c'est la trajectoire d'une boule de billard. Donc ça prouve son existence.

Je n'ai pas compris : de quel Ngone parles-tu ?