Combinatoire : nombre de circuits de longueur 2n

[LB2]

Bonjour,

On appelle circuit de longueur 2n sur Z une liste d'ordres parmi (Gauche, Droite) de longueur 2n telle qu'une particule suivant cette liste de déplacements se retrouve à la fin à son point de départ.
On appelle circuit de longueur 2n sur Z^2 une liste d'ordres parmi (Gauche, Droite, Haut, Bas) de longueur 2n telle qu'une particule suivant cette liste de déplacements se retrouve à la fin à son point de départ.

1. Quel est le nombre de circuits de longueur 2n sur Z ?
2. Quel est le nombre de circuits de longueur 2n sur Z^2?

J'ai une preuve de ce résultat (je crois), mais j'en cherche d'autres...

[beagle]

Pour la 1, le C(2n,n) ne serait-il pas suffisant?

[pascal16]

Ca me rappelle un sujet de Capes.

[Ben314]

Et pour la 2., c'est C(2n,n)^2 : si on code les 4 directions sous la forme H=11 ; B=00 ; D=10 ; G=01 puis qu'on écrit les 2n codes d'un circuit en vertical et cote à cote, ça fait un tableau de 2n de large par 2 de haut dans laquelle chaque ligne contient n fois 0 et n fois 1. Et réciproquement, tout tableau de ce type code un circuit valable.

[LB2]

Pour la 1, le C(2n,n) ne serait-il pas suffisant?

Si!

c'est le choix de l'emplacement des n "+1", parmi 2n emplacements.

[LB2]

Ca me rappelle un sujet de Capes.

Si tu as les références ça m'intéresse!

[LB2]

Et pour la 2., c'est C(2n,n)^2 : si on code les 4 directions sous la forme H=11 ; B=00 ; D=10 ; G=01 puis qu'on écrit les 2n codes d'un circuit en vertical et cote à cote, ça fait un tableau de 2n de large par 2 de haut dans laquelle chaque ligne contient n fois 0 et n fois 1. Et réciproquement, tout tableau de ce type code un circuit valable.

Preuve bijective intéressante, est-ce généralisable à Z^3?

J'avais une preuve du style :

Il y a n (H ou D) et n ordres (B ou G). => (n parmi 2n) choix pour placer ces paquets

On fait l'union disjointe sur k, le nombre de H dans le paquet de n (H ou D)

Il y a exactement (k parmi n)^2 chemins comportant exactement k H et k B.
On fait la somme sur k : on trouve (n parmi 2n) par la formule de Vandermonde.

Je vais regarder ce qui se passe en faisant un tableau à 3 lignes!

[LB2]

Ah mais ça marche pas il y a 6 directions et 8 nombres binaires à 3 chiffres, je suis bête.
Par contre ça marche peut-être pour Z^4 du coup

[pascal16]

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/CAPES_epreuve_2_2015.pdf

dernier exo, partie B.
on lance une pièce à pile ou face qui donne - ou +1 en déplacement vertical.
Un cas particulier de déplacement stochastique

[LB2]

Une question intéressante abordée par ce sujet est la loi de la variable aléatoire comptant le nombre de retours à 0 en 2n déplacements