Trois cercles dans un rectangle

[hammana]

la longueur du rectangle est le double de la largeur. Les 3 cercles ont même rayon. Ce problème a été proposé dans les olympiades où il s'agissait de calculer le rayon des cercles. Lostounet en a donné une solution algébrique. Je vous propose de donner une construction géométrique des centres E, F, G.

[Black Jack]

Avec la largeur du rectangle prise comme unité.

2R + FH = 1
2R + 2.EH = 2

FH = 1 - 2R
EH = 1 - R

FH² + EH² = 4R²

(1-2R)² + (1 - R)² = 4R²

1 + 4R² - 4R + 1 + R² - 2R = 4R²
R² - 6R + 2 = 0 avec R R = 3 - V7

Il suffit donc de construire V7 (en sachant que BC = 1 et AB = 2)
Comme 4² - 3² = 7, V7 est la mesure d'un coté de l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypoténuse = 2.AB et l'autre coté de l'angle droit étant 3.BC

Ce triangle rectangle est immédiat à construire.

Le coté noir du triangle de mon dessin est donc V7

La différence de longueur entre le coté mauve et le noir (au compas ...) est la mesure du R des cercles.

On peut alors en traçant quelques // aux cotés du rectangle à la distance R construire les 3 positions des centres.



:zen:

[hammana]

.......................
Ce triangle rectangle est immédiat à construire.

Le coté noir du triangle de mon dessin est donc V7

La différence de longueur entre le coté mauve et le noir (au compas ...) est la mesure du R des cercles.

On peut alors en traçant quelques // aux cotés du rectangle à la distance R construire les 3 positions des centres.

:zen:

C'est une solution plus algébrique que géométrique. Il faut dessiner les trois cercles en utilisant la règle et le compas, sans l'aide d'aucun calcul algébrique . La solution existe.

[Black Jack]

C'est une solution plus algébrique que géométrique. Il faut dessiner les trois cercles en utilisant la règle et le compas, sans l'aide d'aucun calcul algébrique . La solution existe.

Le calcul sert juste à justifier la construction.
Ce que j'ai proposé est réalisable à la règle et au compas ...

:zen:

[hammana]

Le calcul sert juste à justifier la construction.
Ce que j'ai proposé est réalisable à la règle et au compas ...

:zen:

pour faire la construction que tu proposes il faut faire un calcul préalable pour savoir que
R = 3 - V7
On peut construire la figure sans connaître la valeur algébrique de R

[LeJeu]

Un truc du genre

[hammana]

Un truc du genre

Oui, dans ce genre. Mais je ne vois pas comment tu détermines la position du point B

[Doraki]

Ben non, sur ton dessin tes deux cercles ne se touchent pas.

[Imod]

En tout cas en partant d'un des cercles du bas la construction est immédiate .



Peut-on inverser le procédé ?

Imod

[hammana]

En tout cas en partant d'un des cercles du bas la construction est immédiate .



Peut-on inverser le procédé ?

Imod

Je crois qu'on est obligé d'inverser le procédé. Voir la méthode de Doraki et le commentaire de Beagle dans la rubrique précédente "Un carré autour d'un cercle dans un triangle"

[Lostounet]

Salut,
Pourrais-tu proposer une piste, ça fait un bon moment que je cherche..?

[fma]

I est sur la médiatrice de AB et au tiers de la longueur CD sur cette médiatrice ; la démonstration ne semble pas difficile en raison des symétries. Cela devrait suffire, non ?



edit : doublon erreur ôté

[Lostounet]

Pourquoi I serait sur le tiers de CD?

[Doraki]

Il ne l'est pas.

[fma]

Oui, je fais une erreur par rapport à l'axe de symétrie AB

[hammana]

Salut,
Pourrais-tu proposer une piste, ça fait un bon moment que je cherche..?

J'explicite la figure de Imod:
AKIJ est un parallélogramme, KA=IJ=KE.
Le point A es à l'intersection de la bissectrice de DCB et du cercle de centre K e de rayon KE.

[Lostounet]

Mais alors, comment trouves-tu le rayon ?

[hammana]

Mais alors, comment trouves-tu le rayon ?

Je crois qu'il serait intéressant d'exposer d'abord la méthode de la fausse supposition utilisée pour la résolution de certains problèmes par un raisonnement arithmétique (sans commencer par "Soit x....". Je cite :
Fausse supposition
. – Stratégie de résolution de problème qui consiste à supposer n'importe quel nombre qui permette de trouver une quantité inconnue. Si, par hasard, les conditions données ne sont pas vérifiées, on transforme ce nombre à l’aide d’une simple proportion, comme dans la règle de trois, ou d'autres opérations adéquates.

Par exemple, on demande de trouver quatre nombres dont la somme est 194 et qui diffèrent de 5 entre eux. On peut supposer que le plus petit entier est 20. Les autres seront 25, 30 et 35. Leur somme est 110. On note qu’il manque 84 à ce nombre pour répondre à la condition donnée. Comme on cherche quatre nombres, il manquera 84/4 = 21 à chacun des nombres issus de la supposition. Les nombres cherchés sont donc : 41, 46, 51 et 56.

Si je pars du rectangle je ne sais pas construire le cercle. Si je pars d'un cercle je sais construire le rectangle. Ce rectangle n'a pas normalement les dimensions du rectangle donné, Il suffit de faire une homothétie à ma figure. Disons que dans un premier temps je détermine le rapport du rayon du cercle au côté du rectangle. Pour moi le mode de raisonnement est identique à celui de la fausse supposition.
C'est ce que Imod appelle "inverser le procédé"

[chan79]

Salut
C'est un peu le bazar mais ça marche ... D'abord les trois cercles noirs, puis une rotation, puis une homothétie pour obtenir les 3 cercles rouges dans le rectangle rouge. Je ne détaille pas, la méthode de BlackJack est nettement meilleure :zen:

[Imod]

C'est un peu de la mauvaise foi , c'est une simple homothétie :zen:

Imod