Equation quadratique

[lapras]

Bonjour,

Trouver tous les triangles recatngles à cotés entiers et dont l'aire est un carré parfait.

Bonne chance
Lapras :we:

[miikou]

salut, lapras.
Je crois qu'il n'en existe pas, ai-je raison ?

[lapras]

oui !
Preuve ? :we:

[miikou]

mdr jai supprimé le message, je disais non il n'en existe pas.
pour la preuve je considere un triplet pythagoricie

a= k(u²-v²) b= 2kuv avec pgcd(u,v)= 1

on aurait donc a*b/2 = z²
soit encore k²*(uv)*(u²-v²)= z² => uv*(u²-v²)= y² il est facile de constater que u et v sont inferieurs y donc
u| y² => u | y => y u*n
v|y² => v| y => y= v*m
donc u*n= v*m or pgcd (u,v) = 1 donc v | n => n= p*v
finalement y = u*n = p* vu
en ré injectant dans lequation de dépard on arrive à : (u²-v²)= p²*u*v
donc u divise u²-v² donc u divise v² absurde

[lapras]

u | y² n'implique pas que y = k*u

[miikou]

u divise y ..

[magnolia86]

en plus de la remarque de Lapras ( n'implique pas ... n'est pas premier, par exemple), j'ajoute

a= k(u²-v²) b= 2kuv avec pgcd(u,v)= 1
(...) donc u divise v² absurde

ce n'est pas absurde : ça donne

[lapras]

non
u divise y²
par exemple
2^4 divise (3*2^2)^2 mais ne divise pas (3*2^2)

[miikou]

en plus de la remarque de Lapras ( n'implique pas ... n'est pas premier, par exemple), j'ajoute


ce n'est pas absurde : ça donne

mdr ? on parle de longueur d'un triangle or 1+1 = 2 qui n'est pas un carré parfait.
De plus tu semble ne pas avoir compris pk u|y² => u|y², je l'avais passé sous silence pensant que c'etait evident ..

[magnolia86]

mdr ? on parle de longueur d'un triangle or 1+1 = 2 qui n'est pas un carré parfait.

c'est a, b les longueurs, et pas u,v !

Edit : ok, pour moi, il manque un petit choua d'explication, bon passons...

De plus tu semble ne pas avoir compris pk u|y² => u|y, je l'avais passé sous silence pensant que c'etait evident ..

non, j'ai pas compris, et je ne suis pas le seul a priori.

[miikou]

désolé si des fois je suis un peu rapide quant a l'explication :doh:

bon commençons par le plus simple prend les couples u,v
u=v = 1 => un des cotés est réduit a 0, u = v = -1 a= 0,b = 2*k, idem.
maintenant par symétries des rôles on suppose que u=1 et v=-1
a= 2k b=-2K or a,b>0 absurde

u|k²
v|k²
k² est un multiple du ppcm( u,v), comme pgcd(u,v) = 1 ppcm(u,v) = u*v
donc k² = S*uv ( avec S supérieur a 1)
on revient a notre équation
(u²-v²)*uv = k² <=> (u²-v²)*uv= S*uv
si S=1 u²=v² on a u= +/- 1 v = +/- 1 alors on conclut d'après ce que j'ai écrit précédemment.
Il reste le cas S > 1
u²-v²= (S-1)uv
donc u divise v² ce qui nous rament aussi a la remarque du début : conclus :++:

[magnolia86]

on revient a notre équation
(u²-v²)*uv = k² (u²-v²)*uv= S*uv
si S=1 u²=v² on a u= +/- 1 v = +/- 1 alors on conclut d'après ce que j'ai écrit précédemment.
Il reste le cas S > 1
u²-v²= (S-1)uv
donc u divise v² ce qui nous rament aussi a la remarque du début : conclus :++:

Si S=1 ? ou S=0 ? Et comment arrives-tu à u²-v²= (S-1)uv ?

Pour moi, (u²-v²)*uv= S*uv ( S=u²-v² ou u=0 ou v=0 )

[magnolia86]

Je donne ma solution (malheureusement plus compliquée que je pensais au début...) quant à la résolution du système avec .

Comme l'a rappelé miikou, implique que l'on peut écrire et avec .

Or donc .

Mais un nombre rationnel dont le carré est entier, est lui-même entier. Donc
avec .

Maintenant, on utilise le fait que et sont premiers entre eux, ce qui implique qu'ils sont aussi premiers avec .

Du coup, cela force a être des carrés tous les trois ! Posons , si bien que

Or cette équation n'a pas de solution autre que celles évidentes (là, ça demande des détails (*)) : y=0 ou z=0. Ainsi v=0 ou , ce qui implique respectivement b=0 ou a=0.


(*) http://planetmath.org/encyclopedia/X4Y4z2HasNoSolutionsInPositiveIntegers.html

[magnolia86]

HS : Lapras, tiens, prends ce lien pour ta signature : http://www.maths-forum.com/announcement.php?f=14
:dodo:

[miikou]

j'ai ecris nimporte quoi en effet :ptdr:

[nodgim]

Je donne, avec la même conclusion, une autre approche:
Si N pair, les solutions qui satisfont a²+b²=c² sont de la forme, pour b si a est N: (N²/4i)-i avec N²/4i entier pair.
Et N/2*((N²/4i)-i) n'est pas un carré.

Si N impair, les solutions qui satisfont a²+b²=c² sont de la forme, si 2i+1 est un diviseur de N:
(N²/(2i+1)-1)/2-i.
Là encore, on ne peut trouver de carrés parfaits.

[Imod]

Et que pensez-vous du triangle rectangle de côtés 7 , 24 et 25 ????

Imod

[magnolia86]

Et que pensez-vous du triangle rectangle de côtés 7 , 24 et 25 ????

Imod

il est rectangle, et son aire est .. 84

[IPCST]

En supposant que

si l'on a :

On a aussi









...

[Imod]

Tiens oui , ça m'apprendra à suivre plusieurs sujets à la fois :marteau:

Imod