Equation fonctionnelle

[lapras]

Parfait ! Bravo ! :zen:

[kazeriahm]

et ben il y a du sacré niveau par ici !!

[lapras]

Equation plutot facile :
Trouver toutes les telles que pour tout réels x,y,z et t :


Lapras :we:

[lapras]

Une autre plutôt sympa :
Trouver toutes les telles que :
,

J'ai du utiliser une petite astuce...

[ffpower]

et ben il y a du sacré niveau par ici !!

Merci du compliment mdr :zen:

Une autre plutôt sympa :
Trouver toutes les telles que :
,

J'ai du utiliser une petite astuce...

Si je ne me trompe pas,ya des solutions non triviales: par exemple en posant f(n)=n si n est pair,f(n)=n-1 si n est impair

[lapras]

Effectivement et y'en a même beaucoup :we:

[ffpower]

Effectivement et y'en a même beaucoup :we:

Ca reste quand meme dénombrable :we:

[lapras]

Largement ! :)
(sinon je l'aurais indiqué ;))

[ffpower]

Trouver les f continue de R dans R tel que
f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+xf(y)+yf(x)

(je sais pas si on peut se passer de f continue ou pas...)

[ffpower]

Trouver toutes les f de R dans R telles que pour tout x,y
f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)
(pas de continuité supposée bien sur^^)

[ThSQ]

Une autre plutôt sympa :
Trouver toutes les telles que :
,

J'ai du utiliser une petite astuce...

Je peux jouer aussi ? :happy2:

f=0 est sol, on vire cette sol. après.

m=n=0 : f(0) =f(f(0)) = 0 et f(f(n)) = f(n)
f(n) est donc un point fixe de f pour tout n.

soit p = le plus petit entier qui n'est pas un point fixe de f (> 0 donc).
n = qp+r, un autre point fixe, avec r < p, on remplace : f(r) = r donc r=0
Les points fixes (donc tous les f(n)) sont des multiples de p.
...
Les sol sont donc f(qp+r) = (q+g(r))*p avec g(r) une fonction arbitraire de 0..p-1 dans N

[lapras]

Parfait,
Stucieux ;)

[lapras]

ffpower > Je l'ai avec f continue ou f monotone.
Mais apres sans continuité j'ai pas vraiment cherché. (je pense qu'il faut obtenit la croissance de f)
sinon, sur les rationnels : f(r)=r ou f est la fonction nulle

[ffpower]

c est deja pas mal.Moi j ai galéré pour montrer que f(1)=0 ou 1
Apres,c ca,faut montrer la croissance de f..

[lapras]

Tu m'étonnes... J'ai du me gouré si t'a galéré pour ca !
Je pose a = f(1)
je calcule avec l'équation fonctionnelle :
f(2)=a^2+a
f(3)=a+a^2+a^3
f(4)=a+a^2+a^3+a^4
mais 4 = 3+1=2+2
donc
f(4)=0.5*(a^4+2a^3+3a^2+2a)
d'où :
2a^4=a^4+a^2
donc a = 0 ou 1 ou -1
de même je calcule de plusieurs manieres différentes
6=4+2=3+3=5+1....
et je met ca en équation, finalement j'arrive à a=0 ou a=1
si a=0 f est fonction nulle
si a=1
par récurrence :
f(x+n)=f(x)+n (n entier, x réel)
apres je montre que si x réel, n entier
f(x*n)=f(x)*n
donc f(q*1/q)=f(1)=1=q*f(1/q)
donc f(1/q)=1/q
f(p*1/q)=p*f(1/q)=p/q
donc pour tout r rationnel f(r)=r

[ffpower]

yep,j ai fait comme ca,sauf pour traiter le cas a=-1..reste la monotonie^^

[lapras]

Tien une autre pour la route (c'est pas vraiment une équation fonctionnelle... mais c'est jolie)
Soit une fonction injective.
Montrer que

avec = série harmonique.

[ThSQ]

Tien une autre pour la route (c'est pas vraiment une équation fonctionnelle... mais c'est jolie)
Soit une fonction injective.
Montrer que

avec = série harmonique.

Joli en effet mais ça se fait de manière immédiate par réarrangement (ou Cauchy avec sum_1^n \phi(k) >= n(n+1)/2 mais c'est moins beau je trouve))

[lapras]

Effectivement...
Autre solution qui rejoint quand même le réordonnement...
Soit telle que la somme soit minimale, pour n fixée.
Supposons qu'il existe
alors soit une fonction telle que :
et
pour tous les autres k
alors

absurde par minimalité
donc

donc d'où le résultat.

[lapras]

J'ai peut etre la continuité de f.
pour tout rationnelle r j'ai :
f(x+r)=f(x)+r
en passant à la limite
lim f(x+r) = f(x)
r -> 0
et
lim x+r=x
r->0
Par définition, f continue.
D'où le résultat, f(x)=x.