[Arithmétique] Equation diophantienne

[benekire2]

Bonjour à tous !


Puisque l'heure est à l'arithmétique, je propose cette équation à résoudre dans Z²:



Bon travail !

[Dinozzo13]

Salut Benekire !
L'ayant déjà triatée, je vais donc m'abstenir.
Néanmoins, il me semble qu'elle a déjà été vu sur ce forum, ou alors elle lui ressemble beaucoup :we:

[Lostounet]

5² + 2 = 3³ ?

[Zweig]

Et vous l'avez traitée comment ? J'ai bien trouvé quelque chose, mais en utilisant des outils bourrins ...

[Dinozzo13]

Or l'équation étant à résoudre dans Z², tu peux avoir aussi :


De là, tu peux conjecturer que si est solution de l'équation, l'est aussi ^^

[Dinozzo13]

De même, je sais pas si ça a une grande importance, mais :
Quel que soit l'entier : donc
Or , il vient donc .
De plus, et , par conséquent, .

[Lostounet]

Salut Dino..:

Que veux-tu dire par Z² ?

[Dinozzo13]

Z² est l'ensemble des couples d'entiers relatifs :
quand et
L'équation est à résoudre dans car il y a deux variable qui appartiennent toute les deux dans donc on note :

où ici, , désigne le produit cartésien et non un simple produit entre réels ^^.

Exemple, si tu cherche admettons tout les décimaux x et les rationnels positifs y tels que x²=y, on dira résoudre dans

[Nightmare]

Salut,

l'équation se réécrit .A priori, on doit trouver quelque chose en raisonnant dans qui a le bon goût d'être factoriel.

[Doraki]

Ouais c'est assez bourrin pour des olympiades d'utiliser ça.
(mais j'ai pas tellement cherché autrement)

[benekire2]

Ouais c'est assez bourrin pour des olympiades d'utiliser ça.
(mais j'ai pas tellement cherché autrement)

Oui, mais je ne le sort pas d'une olympiade, c'est un exercice "comme ça" mais qui n'est pas facile alors j'ai jugé que comme il parlait d'arithmétique élémentaire, fallait le mettre ici.

Après je n'ai pas la solution à cet exercice, mais il semble en effet qu'il faille bâtir une arithmétique sur et s'en servir.

[Dinozzo13]

Une petite indication Benekire, parce que là je sèche :++:

[Nightmare]

Comment as-tu procédé Bene?

Je pense avoir trouvé des pistes plus simple

Dans Z/2Z, l'équation devient y=x donc y et x sont de même parité.

Dans Z/3Z, l'équation devient y=x²+2 qui donne par Fermat y=3 si x=1 ou 2 et de même y=3 si x=0. Donc au moins un des deux est un multiple de 3

Dans Z/4Z, l'équation devient y=x²+2 qui implique que x est impair par l'absurde et donc y aussi.

Pour finir, on démontre que x et y sont premiers entre eux rapidement en posant x=dp et y=dq.

Je pense que ce ne doit plus être très difficile de conclure quant à la solution, unique, x=5 et y=3.

PS : Bon, rien de très fructueux en fait, ça permet juste de dire que (3,5) est la seule solution composée de deux nombres premiers.

[benekire2]

Moi aussi je sèche :zen: Je n'avais pas réussi , je n'ai pas réussi a "bâtir une arithmétique"

Nightmare > Je n'avais pas trop cherché du coté des restes mod 2 et 3 mais ça m'a l'air prometteur :id: (juste le passage sur Z/4Z , ca sert a rien puisque x et y sont premiers entre eux et de même parité) par contre je sais pas si on peut conclure aussi facilement a la fin faudrait voir :hein: .


Si par contre tu as une preuve avec l'arithmétique dans Z[iracine(3)] je suis tout a fait preneur :zen: Disons que ça m'intéresserait de savoir comment construire une arithmétique là dedans...

[Nightmare]

Attention, c'est dans Z[iV(2)], Z[iV(3)] ce serait pas top, parce que lui n'est pas factoriel.

[benekire2]

Attention, c'est dans Z[iV(2)], Z[iV(3)] ce serait pas top, parce que lui n'est pas factoriel.

Oui oui pardon :we:

[Zweig]

Je n'ai pas fait les calculs pour la méthode qui suit, mais comme les exposant qui apparaissent sont 3 et 2, il serait peut-être intéressant de réduire l'équation modulo 7.

[benekire2]

Est-ce que quelqu'un a un lien qui parle de l'arithmétique dans Z[i racin(2)] ou est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer rapidement la solution qui utilise cette méthode ?

Merci !!

PS: Zweig > je ferais les calculs ce soir voir si on peut en tirer quelque chose , fais les toi aussi pour être sûr que je n'ai pas raté la solution si elle est là :zen:

[Doraki]

Z[sqrt(-2)], c'est un anneau euclidien.
Il dispose d'une norme héritée du module sur C.

Il a une division euclidienne : Si a et b sont dans Z[sqrt(-2)] et b non nul,
on calcule a/b dans C, et on choisit un nombre q dans Z[sqrt(-2)] dont la distance à a/b est plus petite que 1 (là faut faire un dessin dans C pour s'en assurer, en fait on peut toujours avoir une distance <= sqrt(3)/2)
On pose alors r = a - bq. On a donc que |r| = |a-bq| = |b|*|a/b-q| < |b|

Même si (q,r) n'est pas nécessairement unique c'est suffisant pour
avoir l'existence du pgcd (et de l'algorithme d'euclide qui va avec)

Et avec ça tu peux refaire la même arithmétique que dans Z, et surtout,
tout nombre se décompose de manière unique (au signe près) en produit de nombres premiers.

Par exemple,
2 = -(sqrt(-2))²
3 = (1+sqrt(-2))*(1-sqrt(-2))
11 = (3+sqrt(-2))*(3-sqrt(-2)) etc.

Pour résoudre y^3 = (x-sqrt(-2))(x+sqrt(-2)),
On écrit (x-sqrt(-2)) en produit de nombres premiers.
(x+sqrt(-2)) est le même produit sauf qu'on a remplacé les nombres premiers complexes par leurs conjugués.
Comme y^3 est un cube,
et que (x-sqrt(-2)) n'est pas un multiple d'un entier,
ça force à ce que (x-sqrt(-2)) soit le cube d'un nombre de Z[sqrt(-2)]
(par exemple ça peut pas avoir (1+sqrt(-2))*(1-sqrt(-2))*(1-sqrt(-2)) parceque ça ferait 3*(1-sqrt(-2)), et (x-sqrt(-2)) n'est pas un multiple de 3)
A partir de là, les seuls cubes possibles sont
(1+sqrt(-2))^3 = (-5+sqrt(-2)),
(-1+sqrt(-2))^3 = (5+sqrt(-2))
ce qui donne les deux solutions dans Z, x = +-5 et y=3

***

aussi, j'vois pas ce que ça va vous donner de regarder l'équation modulo n, à part vous dire que y'aura au moins (5,3) et (-5,3) modulo n.

[benekire2]

Fantastique Doraki !!!!

Je vais lire cela avec attention, juste après que j'ai posté la preuve concernant les algébriques et les polynômes irréductibles unitaires !