Equation fonctionnelle

[lapras]

Bonjour. Je re-lance la mode !
Soit E un ensemble fini, P(E) une partie de E,
Trouver toutes les fonctions
telles que :
(i) Pour toutes parties A, B de E,
(ii) Pour toute bijection ,

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Une equation fonctionnelle,ca faisait longtemps :we:
Cela,dit,elle est pas tres dure...
La petite question que je me pose,c est:est ce qu on peux s en sortir sans l axiome du choix?A mon avis non,mais qui sait?
Edit:oups,j avais lu "soit E un ensemble infini"..Bon bah oubliez ce que j ai dit alors..

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Effectivement elle n'est pas très difficile mais c'est le début :) J'ai une réserve d'exos à vous proposer :we:

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Ah ca fait plaisir,ca faisait longtrmps(surtout si c est des equations fonctionelles)

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Autant donner les liens directement :
http://matholympia.googlepages.com/081108-FunctionalEquations.pdf
http://matholympia.googlepages.com/131208-FunctionalEquations.pdf

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voila de quoi s occuper lol...Bon je vais bientot devoir partir,mais je vais essayer d en faire quelques un avant qd meme...

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Bon alors voila ou j en suis sur la premiere feuille:
-Les exos 1 a 4 sont des grands classiques,donc j ai commencé par le 5
-pour le 5,j ai l impression qu on peut pas vraiment ecrire l ensemble des solutions.Pour chaque fontion définie sur [2,4[,la relation f(x²)=f(x)+1 premet de définir f sur [4,16[,puis sur [16,16²[,ect,et en utilisant f(\sqrt(x))=f(x)-1,on definit f sur [\sqrt(2),2[,ect..
-pour le 6 en posant g(x)=f(\sqrt(x)) pour x positif,on a g(x+y)=g(x)g(y) pour tout x,y positifs.c est la encore classique de montrer qu alors g(x)=e^(ax),et on conclut
-Le 7 j ai pas encore reussi,c est celui que je suis en train de faire,en tout cas il semble amusant.J ai d ailleurs bien envie d etudier en toute généralité le syteme fog=u,gof=v ^^
-Le 8,je connais,donc je laisse faire.L astuce c est d arriver a passer de l hypothese "continue" a l hypothese C².Cela dit c est pas évident si on connait pas
-Le probleme 1,bon bah c est pareil,sauf que la,f est directement supposée C² donc c est plus simple.Cela dit cette hypothese est superflue,la meme astuce que pour le 8 marche ici.On peut donc remplacer C² par continue dans l enoncé
-Le 9,j ai pas envie..Chercher des fractions rationnelles,ca ira..
-Pour le 10,easy quand on a l habitude de résoudre du fof=g..La réponse est k positif..

Apres,les equations polynomiales,j ai la flemme pour l instant,je les ferai p-e plus tard.Et apres c est meme plus vraiment des equations fonctionnelles,donc ca m interesse pas trop..
Donc je vais pour l instant essayer de torcher le 7,et je passe a la feuille 2 :++:

[lapras]

Les polynomes ne sont de toute facon pas très interessants ici. L'exo 13 m'a demandé une petit astuce.
Attention : exercice 7 : il suffit de trouver un exemple de fonctions qui marchent
Aide : poser
h(x)=ln(f(e^x))
Le probleme de ramanujan est sympa ;)

Toutes ces équations fonctionnelles sont elles si classiques que ca ?
(je ne les connaissais pas avant d'avoir cette feuille)

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L equation f(x+y)=f(x)+f(y) est on ne peut plus classique oui(p-e pas en terminale,ni meme en olympiades,mais a partir de la prepa en tout cas,ca l est).Et les autres sont dérivés de cette equation(pas au sens ou on dérive hein^^)
-Si f est continue ou monotone,les solutions sont des homotéties.
-C est plus généralement vrai si f est supposée mesurable(je pense pas que tu connais la définition,mais disons que c est par exemple vrai si f est limite de limites de fonctions continues :marteau: )
-Sans hypotheses sur f,il existe des contre exemples(a condition d utiliser l axiome du choix).On comprend vite que c est contres exemples sont affreux.Non mesurables,bornés sur aucun intervalle..

[lapras]

Bien sur je connaissais cauchy (d'ailleurs si f bornée sur un intervalle on peut aussi appliquer cauchy)
je parlais des autre équations
mais c'est vrai elles découlent immédiatement de cauchy.
Mais je ne connaissais pas celles sur les dérivées.

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Et le 8,t as reussi a le faire?(si t as reussi sans connaitre l astuce,c est vraiment bien ouej)

[lapras]

pour le 5,
je pose g(x)=f(e^x) (motif : f croit tres lentement)
On a alors :
g(2x)-g(x)=1
ce qui donne par exemple g(x)=ln(x)
donc
f(x)=ln(ln(x)) marche

pour le 8), le prof a donné des indications,
en fait j'admet que tout réel est limite d'une suite de la forme n/2^m*y ave y réel fixé, n et m entiers.
Le truc c'est que la fonction f a des bonnes propriétés de la fonction cosinus que j'utilise.

[ffpower]

ah ouai,ca doit marcher comme ca aussi le 8(mais ct probablement pas la methode attendue,vu que c était dans dérivation).Voila la methode tres efficace qui permet de faire gagner de la régularité sur f,ce qui permet de bidouiller ensuite les dérivées.Cette technique marche souvent sur les equations fonctionnelles faisant intervenir au moins 2 variables,et ou de la continuité est supposée sur la fonction.Perso,ca m a permi de résoudre nombre d équations fonctionnelles(par contre,je ne sais pas si cette technique est tolérée en olympiades,je ne m y connais pas beaucoup en ce domaine).La seule chose non triviale que l on utilise,c est l existence de primitives pour les fonctions continues

donc on part de notre équation fonctionnelle,ici
2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
On fixe maintenant 2 réels a et b,et on integre l égalité sur y entre a et b

Si on note F une primitive de f et cette égalité devient
2If(x)=(F(x+b)-F(x+a))+(F(x-b)-F(x-a))
Or F est C1(de dérivée f),donc l expression de droite est C1 en x.Maintenant on suppose avoir choisi a et b tel que I soit non nul(C est toujours possible sauf si F est constante,donc si f est nulle).En divisant par 2I,on obtient donc que f est C1.Mais comme f est C1,F est C2,et on en déduit que f est C2,ect...On obtient ainsi que f est infiniment dérivable

Une fois qu on a ca,il suffit juste de bidouiller les dérivées pour conclure.On repart de notre equation initiale.
-En dérivant 2 fois par rapport a x,on a:
2f''(x)f(y)=f''(x+y)+f''(x-y)
-En dérivant 2 fois par rapport a y on a
2f(x)f''(y)=f''(x+y)+f''(x-y)
Donc on obtient f(x)f''(y)=f''(x)f(y)
On en déduit l existence d un c tel que f''=cf,et on résout,selon que c soit positif négatif ou nul..

Allez un 2eme exemple,plus simple:l équation de Cauchy(ok,elle est simple a la base celle la,c est juste pour montrer.
Si f(x+y)=f(x)+f(y) avec f continue,on note F une primitive de f,on fixe a et b et on integre y entre a et b.On obtient
F(x+b)-F(x+a)=(b-a)f(x)+(F(b)-F(a)).F est dérivable,donc on en déduit que f l est aussi.Maintenant on dérive l équation de Cauchy par rapport a x et on obtient f'(x+y)=f'(x).Donc f' est constante,donc f est affine.f(0)=0 donc f est linéaire.

Dans les liens que tu as donné,ca m a permis aussi de faire:
-sur le 1er lien,le probleme 1 en remplacant C2 par continue(bon ya un petit truc a faire avant la)
-sur le 2eme lien:l exercice 1,l exercice 3,et de résoudre l équation du probleme 3 sans utiliser que h est bornée

Voila,j espere que mon mini cours vous a plu :we:

[lapras]

Merci.
Cette technique est très puissante ! ... Mais elle demande d'admettre qu'une fonction continue a une primitive.

sinon, pour les exos 1 et 3 de la feuille 2 (qui se font d'ailleurs en posant juste x=0 ou x=a...), je ne vois pas trop comment tu utilises ta technique d'intégration... (ou au moins tu pose x=a ou qqchose du genre ?)

[lapras]

Sinon, voici quelques équations sympas :
1) Trouver toutes les fonctions croissantes telles que :

(assez facile)

2)Existe il telle que telles que :
(pas évidente !)

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autant pour moi,pour l exercice 3,on peut pas faire ca car f n est pas supposée continue...et surtout ca servirai a rien vu a quel point l equation est simple a la base.

Pour le 1,si on suppose g et h non identiquement nulles,en integrant y entre a et b on obtient et on en deduit que g est dérivable.de la meme maniere,en integrant x,on a que h est dérivable,et donc finalement f aussipres en dérivant f(x+y)=g(x)h(y) selon x d une part et y d autre part,on obtient g'(x)h(y)=g(x)h'(y),et on en déduit l existence de c1,c2 tels que g'=c1g,h'=c2h,et on conclut.mais on peut aussi bien sur faire comme t a dit,prouver que f,g h sont proportionnelles et se ramener a l equation de Cauchy

Sinon,pour le probleme 1 du 1er lien,il faut faire avant le changement de variables u=x+y,v=x-y pour pouvoir appliquer la methode

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pour ta question 3 c est sans continuité?
edit:ouai ok,ca a l air de se faire sans continuité..je viens de faire le cas n=2^^

[lapras]

Pour la 3) c'est, heureusement, sans continuité (sinon je n'aurais pas mis pas évident :ptdr: )

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ok pour le 3,il était amusant..x=y=0 donne f(0)=0
x=0 donne f(y^n)=f(y)^n,et l equation devient f(x+y^n)=f(x)+f(y^n),et on obtient donc que f est additive.
f vérifie donc l équation de cauchy d une part,et commute avec le polynome X^n d autre part.mais si f commute avec un polynome P a coeff entiers,elle commutera aussi avec le polynome P(X+1)-P(X),et en diminuant ainsi successivement le degré de P,on déduit que f commute avec un poly de degré 2 a coeff entiers,et on en déduit alors finalement que f commute avec X².En utilisant 2xy=(x+y)²-x²-y²,on en déduit que f(xy)=f(x)f(y) et donc que f=id

[ffpower]

Dans le meme genre:Trouver les f:R+*->R* telles que f(x+1/y)=f(x)+1/f(y)