Equation fonctionnelle

[ffpower]

Equation plutot facile :
Trouver toutes les telles que pour tout réels x,y,z et t :


Lapras :we:

je l avais deja fait celle la(elle m'avait donné du mal a l'époque),mais puisque personne daigne y répondre,je m en occupe^^
f=0 marche,on suppose f non identiquement nulle
1)En faisant y=z=t=0,on obtient f(0)=0
2)En faisant y=t=0,on obtient f(x)f(z)=f(xz).En particulier f(x²)=f(x)² donc f est positif sur R+
3)En faisant z=x,t=y,avec x,y positifs on a f(x²+y²)=(f(x)+f(y))²>f(x)²=f(x²)
f est donc croissante sur R+

En combinant les 2) et 3),on en déduit que f est de la forme f(x)=x^a sur R+
Or en faisant x=y dans l égalité de 3) on a f(2x²)=4f(x)² donc on en déduit 2^a=4,donc a=2.On a donc f(x)=x² sur R+.En faisant y=z=0,t=1,on obtient f(x)=f(-x),donc on conclut f(x)=x² pour tout x de R

[ffpower]

J'ai peut etre la continuité de f.
pour tout rationnelle r j'ai :
f(x+r)=f(x)+r
en passant à la limite
lim f(x+r) = f(x)
r -> 0
et
lim x+r=x
r->0
Par définition, f continue.
D'où le résultat, f(x)=x.

Nan ca marche pas
Regarde la fonction f(x)=x si x est rationnel
x+1 si x est irrationnel
Tu peux lui appliquer ce raisonnement,et pourtant...Le prob,c est que tu obtient que f(x) est la limite de f(x+h) quand h tend vers 0 ET h rationnel.Ca ne suffit pas..

[lapras]

Pour l'équation que tu viens de résoudre,
je ne me suis pas embeté, j'ai utilisé les outils classiques, sans réfléchir :
f(n)=n^2, n entier
f(r)=r^2 , r rationnel
f croissante
f(x) = x^2 en passant à la limite
sinon, il y a aussi la fonction nulle et la fonction 1/2.

[lapras]

Merci de m'avoir signalé mon erreur avec les limites...
C'est trompeur les limites !

[Mhdi]

Je profite du topic pour poster des équations fonctionnelles que je n'arrive pas à résoudre :

Exercice 1 :

Trouver toutes les applications définies sur telles que :

i)
ii)
iii)

Exercice 2 :

Trouver toutes les applications monotones pour lesquelles il existe un entier naturel n tel que : pour tout x de .

=fofo...of(n fois)

En ce qui concerne cette dernière, j'ai fait une disjonction des cas mais bloque sur certains.

Exercice 3 :

Soit f une fonction définie sur tel que :

i)
ii)

Montrer que

C'est tout pour l'instant.

N.B:Ces exercices proviennent de la partie Olympiades de la leçon des fonctions(manuel scolaire). Et ni les notions de limites ni de celles continuité ne sont abordées. Donc, si possible, s'en passer.

[Zweig]

Salut,

Exercice 1 :

Soit . On pose . Alors d'après i) :



Donc d'après iii) on en déduit que

On pose Alors d'après i) :



Donc d'après iii) on en déduit que

D'où

Plus généralement, on peut montrer que les fonctions de R+ vers R+ qui satisfont l'équation sont de la forme





avec

[lapras]

Bonjour,
la 1) est facile :
x -> 2/f(y) donne f(x)<= 2/(2-x)
y -> 2-x donne f(x)>=2/(2-x)
d'où f(x)=2/(2-x)

2) aussi avec hypotese strict monotone, sans ca c'est plus dur !

je poste la solution du 2) et 3) ce soir.

[Mhdi]

@Zweig : Comment tu déduis les inégalités? Et les inégalités ne sont valables que pour 0<=y<2. Comment tu fais pour déduire que f(x)=2/(2-x) pour tout x de R+?

[Zweig]

Je déduis les inégalités de iii) et j'ai bien supposé

[Mhdi]

Ok. Je lisais : "d'après ii)" ^^

Oui, je sais que tu as supposé que 0<=y<2. Mais dans ce cas les inégalités ne sont valables que pour 0<=y<2, et la solution aussi, non?

[lapras]

Si x>2, poser y=2 et c'est torché.

[Mhdi]

Et pour les autres? :-°

[lapras]

Exercice 2)
si n pair, est croissante car f monotone mais est décroissante : impossible.
si impair, soit (). On a : or est monotone car f monotone (*) d'où est constante donc donc . En réinjectant :
d'où seule solution
(*) si ce n'est pas clair
soit g(x)=f(f(x)). g croissante car f monotone
supposons (même chose si U_0 > U_1 en changeant les inégalités) alors Or donc
par récurrence

[lapras]

Exercice 3 :
Soit
on a :

par (i),

si

donne :



...
on a donc :

donc

supposons :

alors

soit

or par (i) donc
en passant à la limite (f continue en 0 en utilisant le théoreme des gendarmes et (ii) au fait que pour x proche de 0)
absurde

d'où le résultat.

[lapras]

As tu compris mes solutions Mhdi ?

[Mhdi]

Désolé, j'ai eu un problème d'affichage des messages lus/non lus. Je vais lire la solution du 2ème exercice.

Quant à l'exercice 3, je vois que tu utilises des notions que je ne connais pas. J'y reviendrai donc plus tard.

En tout cas, merci à vous deux(Lapras et Zweig).

[lapras]

j'ai juste utiliser une chose simple dans le 2eme : le théoreme de gendarmes que tu as vu en 1ere. (intuitif d'ailleurs).

[Mhdi]

Première remarque :P : Pourquoi U_{nk}=x? Je ne pense pas que cela soit correct.

Edit : Je SUIS en première! :langue2:

[lapras]

Si c'est correct car si f^n(x)=-x, en réapliquant f^n,
f^{2n}(x)=x
d'où le résultat

[Mhdi]

Oui, je suis d'accord, mais est-ce que U_{nk}=x?