Equation a coupé le souffle...

[_-Gaara-_]

Disons qu'un génie qui persévère trouve... parfois !

lol donc tous les autres doivent se coucher et attendre ?? xD

[Aguire]

donc tous les autres doivent se coucher et attendre ?

Non, ils doivent veiller en priant jusqu'à ce que le génie trouve, éventuellement en psalmodiant le programme de Hilbert !



Sinon j'ai une démonstration fiable du cas pour deux cubes : "tout entier relatif non nul ne peut pas s'écrire d'une infinité de façons comme une somme de deux cubes d'entiers relatifs"
Ca commence par trivial -> fiable si vous voyez ce que je veux dire. Si vous ne trouvez pas, je vous expliquerai la démonstration, ce n'est vraiment pas compliqué. Je recherche toujours le cas 3 cubes mais là ça se complique très sérieusement à moins que je sois complètement tarte et que je manque quelque chose d"évident.


Bon courage !

[Aguire]

J'ai une preuve qu'il existe certains relatifs (une infinité) qui s'écrivent d'une infinité de façons comme somme de 3 cubes relatifs (cas non triviaux).

Je pense peut-être pouvoir les caractériser et ceux pour lesquels ce n'est pas possible (car sinon on aurait le résultat 3 cubes et non 5 qui serait connu !). Et donc je cherchais une démonstration générale qui ne pouvait exister, d'où le sur-place, forcément !

Je suppute qu'on va avoir le même résultat pour 4 cubes, et je suis plutôt favorable maintenant à l'hypothèse que l'énoncé est juste... Voire peut-être une erreur minime, comme le 1999 qui serait un 1998 par exemple. Voilà, voilà, bien content de moi !



2 = 6001^3-5999^3-600^3 Qui dit mieux ?! :king2:

[lapras]

salut
(a + b)^3 + (5a + 9b)^3 + (5a + 5b)^3 = (3a + 7b)^3 + (2a)^3 + (6a+8b)^3

Je ne sais pas si ca peux t'aider, j'ai passé du temps a chercher cette égalité (avec des moyens informatiques bien sur)
Tu peux choisir
a = -b

[Aguire]

Bien... à vrai dire je ne sais pas non plus ! :) Merci en tout cas !
Elle a une drôle de tête, mais on remarque somme des coeffs des a = somme des coeffs des b. A vrai dire je n'ai absolument pas recherché ce genre de formules, donc je ne sais pas si c'est d'une quelconque utilité... Ce serait pas mal d'avoir une règle pour avoir des (ci1 a + ci1 b)^3 + (ci2 a + ci2 b)^3... etc. L'égalité de la somme peut faire penser qu'elle révèle des vérités profondes.

Je suis intrigué par les moyens informatiques dont tu parles. Comment as-tu fait pour cette équation stp ?
De mon côté j'ai cherché par une méthode logique puis maintenant algébrique. J'ai rien à part ma vieille calculatrice, j'ai pensé recourir à un prog en Pascal, mais la plupart des fois c'est une pure perte de temps qui ne mène à rien au final. Il faut que le moyen soit au service de l'objectif pas qu'il le remplace, et c'est très dur à maîtriser, ça peut renforcer une tendance à se perdre dans des particularités ! Ce qui m'arrive souvent...


A+

[lapras]

Les identitées remarquables sont vraiment tres tres utilies pour montrer que tout entier peut s'écrire sous la forme de cube, carrés , etc...
Pour la trouver j'ai développer une somme de 3 cubes des deux côtés et j'ai identifié les coefficients. J'ai fait chercher ces coefficients par un prog en C, c'est simple mais un peu lourd a coder (pas mal de boucles).
J'ai plus le programme mais je vais essayer d'en refaire un pour trouver des identités remarquables de ce type.
Pour l'égalité de la somme c'est normal c'est une condition pour trouver ces coeff.

[Aguire]

SOLUTION


1999 = (60k^3+10)^3 - (60k^3-10)^3 - (60k^2)^3 - (1)^3

[_-Gaara-_]

1999 = (60k^3+10)^3 - (60k^3-10)^3 - (60k^2)^3 - (1)^3

Joli :id:

[ffpower]

l enoncé était donc vrai finalement^^

[lapras]

On aurait du écrire un programme depuis le début qui nous aurait trouvé en un rien de temps ces coefficients !

[Aguire]

Ouais... Je pense qu'il y a des jeunes gens qui ne comprennent pas bien le problème. Quelques explications :

Cet exercice n'avait pas beaucoup d'intérêt en soi, il fallait connaître une technique qui n'est pas forcément évidente et penser à l'inventer spécialement est très difficile. Peut-être a-t-il de l'intérêt pour des gens très forts qui vont tout de suite être menés à la solution, ou qui ont une grande culture mathématique et vont songer à une identité "remarquable", mais il y en a des collections, elle devient remarquable par ce qu'elle permet de faire associée à la manipulation dont je viens de parler.

Alors ce n'est pas la peine de chercher à programmer quoi que ce soit, le programme ne pourra jamais trouver que ce qu'on lui permet de trouver, il faut des idées, des interrogations, comprendre comment ça marche et des démonstrations bien sûr, puis des généralisations. Si par exemple on demande 432 en somme de 3 cubes, qu'est-ce qu'on fait ? On redémarre le programme ? Et avec quoi, quelle formule ?

Les mathématiques sont très exigentes intellectuellement, il ne s'agit pas de développer en impératif en espérant y comprendre quoi que ce soit. Mais bon, chaque chose en son temps, avec l'âge vient parfois le goût de l'abstraction, et parfois pas... alors on se destine à autre chose, y'a pas que les mathématiques dans la vie ! On a le droit de ne pas aimer, mais il faut au moins comprendre de quoi il est question.

Pour illustrer tout ce que je viens de dire voici une démonstration simple. Lisez-la et demandez-vous comment on peut y arriver :


DEMONSTRATION


(t+1)^3 - (t-1)^3 = 6t^2 +2

t = 6u^3 et k = 6u^2 -> k^3 = 6t^2

2 = (6u^3+1)^3 - (6u^3-1)^3 - (6u^2)^3
2*10^3 - 1 = 1999 = (10(6u^3+1))^3 - (10(6u^3-1))^3 - (10(6u^2))^3 + (-1)^3




Je suis en bonne voie pour résoudre le cas 3. Je continue sur ce très intéressant et accessible problème de décomposition !

A+

[lapras]

Excuse moi je n'ai rien compris a ton message, mais tout ce que je pense c'est que pour de la recherche d'identités remarquables plutot importantes comme celles-ci mieux vaut un bon programme pour les chercher et de passer ses journées dessus !

[Sve@r]

Excuse moi je n'ai rien compris a ton message

Il dit juste que c'est un exercice destiné à "se faire plaisir" (si on aime ce genre d'exercice) et non pour un problème concret.

pour de la recherche d'identités remarquables plutot importantes comme celles-ci, mieux vaut un bon programme pour les chercher et de passer ses journées dessus !

Chacun ses préférences. Personnellement je prends aussi plus de plaisir à programmer un algo qui va chercher à ma place mais personne ne peut dire "ceci est mieux que cela"...

[lapras]

Il dit juste que c'est un exercice destiné à "se faire plaisir" (si on aime ce genre d'exercice) et non pour un problème concret.

Ok merci de m'avoir traduit son paragraphe

Chacun ses préférences. Personnellement je prends aussi plus de plaisir à programmer un algo qui va chercher à ma place mais personne ne peut dire "ceci est mieux que cela"...

Oui bien sur on peut aimer chercher des identités remarquables, mais je pense qu'il vaut mieux passer du temps sur des jolies exos que de développer des cubes. Ce n'est que mon avis !

[Aguire]

Un jour un type se dit : "Tiens c'est bizarre je n'arrive pas à trouver de cube somme de deux cubes. Qu'est-ce que ça donne pour d'autres puissances ?". 350 ans plus tard un autre type démontre la question là où tout le monde avait échoué.

Qui a trouvé ? Un mathématicien ou un informaticien ? Un programme aurait-il trouvé ? Programmé comment ?
Il y a un critère simple pour savoir si une chose est meilleure qu'une autre : l'efficacité. Si on veut trier une liste de 1000 éléments on prend un programme, si on veut prouver des résultats mathématiques on se sert de son cerveau. C'est un bien meilleur outil.
Par ailleurs, j'ai dit que cet execice n'est pas très intéressant parce que ce n'est justement qu'un exercice. Prouver des résultats sur les écritures de sommes de puissances, c'est un problème complet et fascinant qui ne se réduit pas à des identités remarquables (sur lesquelles je passe peu de temps car je cherche des généralités).

[lapras]

Qui a trouvé ? Un mathématicien ou un informaticien ? Un programme aurait-il trouvé ? Programmé comment ?

En l'occurence le théoreme de fermat c'était démontrer qu'il n'existe PAS de solution, ce n'est pas du tout la même chose.
Dans beaucoup d'exo où on demande une infinité de solutions, les identités remarquables sont la clé du probleme !
Va donc voir le Ici (exercice olympiade)
Ce genre d'exo ne reposent que sur des identités remarquables.
Si tu aimes ca, j'ai essayé de généralisé une équation fonctionnelle ou on a besoin de trouver une somme de puissance n-ieme est égale a une autre somme (membres différents) de puissance n-ieme. bien sur pas n'importe quelle somme de puissance n-ieme on doit respecter des criteres.

Prouver des résultats sur les écritures de sommes de puissances, c'est un problème complet et fascinant qui ne se réduit pas à des identités remarquables (sur lesquelles je passe peu de temps car je cherche des généralités).

Je suis bien d'accord avec toi sur ce point, c'est un sujet tres interessant, et je m'y suis beaucoup interessé aussi ! (voir mon équation fonctionnelle)

Il y a un critère simple pour savoir si une chose est meilleure qu'une autre : l'efficacité. Si on veut trier une liste de 1000 éléments on prend un programme, si on veut prouver des résultats mathématiques on se sert de son cerveau. C'est un bien meilleur outil.

En l'occurence l'ordinateur gagne, rien n'était complexe il fallait juste trouver une factorisation, donc là en efficacité c'est l'ordinateur qui gagne.

[Aguire]

1. En l'occurence le théoreme de fermat c'était démontrer qu'il n'existe PAS de solution, ce n'est pas du tout la même chose.
2. Dans beaucoup d'exo où on demande une infinité de solutions, les identités remarquables sont la clé du probleme !
3. En l'occurence l'ordinateur gagne, rien n'était complexe il fallait juste trouver une factorisation, donc là en efficacité c'est l'ordinateur qui gagne.

1. Je le sais et je n'ai pas dit le contraire. Par ailleurs l'énoncé pouvait sembler douteux.

2. C'est la différence entre l'exercice et le problème.

3. As-tu fait le programme ? Aurais-tu autorisé une formule en puissances imbriquées comme celle que j'ai donné ? Et combien de temps mettrais-tu ? A quoi cela te servirait-il ? Tu n'aurais pas compris pourquoi c'est possible et tu n'aurais rien appris. Et tu n'aurais aucune généralisation, c'est à dire que tu serais à chaque fois dépendant d'un programme qui trouve mais n'explique ni ne démontre rien. Ce qui au final est d'une efficacité très faible par rapport à quelqu'un qui sait. Fais ton programme pour 432, j'ai déjà la réponse. Et maintenant j'ai une preuve en une ligne pour 1999. Essaie de faire mieux...

[lapras]

As-tu fait le programme ? Aurais-tu autorisé une formule en puissances imbriquées comme celle que j'ai donné ? Et combien de temps mettrais-tu ? A quoi cela te servirait-il ? Tu n'aurais pas compris pourquoi c'est possible et tu n'aurais rien appris.

J'ai fait aucun programme, j'en ai déja utilisé auparavant pour chercher de telles identité et ca marche tres bien.
Ecoute, chacun son truc : certains aiment passer du temps pour résoudre des exercices à l'aide de preuve par identité remarquable.. Certains en revanche préferent faire des problemes plus interessants qui demandent de la réflexion.

Fais ton programme pour 432, j'ai déjà la réponse. Et maintenant j'ai une preuve en une ligne pour 1999. Essaie de faire mieux...

Désolé je ne vais pas perdre de temps pour écrire un programme ou chercher a la main cette identité remarquable, j'ai mieux à faire...

[Aguire]

Ecoute, chacun son truc : certains aiment passer du temps pour résoudre des exercices à l'aide de preuve par identité remarquable.. Certains en revanche préferent faire des problemes plus interessants qui demandent de la réflexion.

Parfaitement d'accord. Plus haut tu as écrit "qu'on aurait du" se situer dans le premier cas et écrire un programme, ce que précisément j'ai contesté. D'où cette longue suite de questions/réponses.

[lapras]

Et je n'ai pas dit que l'étude des sommes de puissance n'était pas interessante, bien au contraire... (théoreme de lagrange (4 carrés), théoreme de fermat sur les sommes de deux carrés, etc...)
:happy2: