Equation cubique/quadratique

[lapras]

Bonjour,
résoudre dans :

Lapras :we:

[miikou]

salut,
ya pas de solutions, on etudies les congruence modulo 3 ;)

[lapras]

J'ai peur que ca soit un peu (beaucoup) plus complexe que ca
et puis on a la solution (1,0) (ce qui prouve que modulo 3 il y a des solutions !)

[miikou]

oula dsl jai ecris nimporte quoi en faisant la table avec les modulo :)

[ThSQ]

Tu joues beaucoup avec les équations diophantiennes de degré trois Lapras en ce moment :++: Concernant je t'oublie pas !

Y a-t-il ici une solution "élémentaire", i.e. sans passer par ?

En utilisant , anneau euclidien donc factoriel (c'est ce qui compte ici) je pense que je l'ai (laborieusement) :



et sont premiers entre eux : un diviseur commun divise leur somme = 2 mais 2 ne divise pas (la norme est impaire)

Les seules unités de sont 1 et -1 (la norme toujours).

Donc et avé

Si alors on obtient en développant soit a=1 ou -1.
-1 ne convient pas et a=1 donne b=0.

On trouve donc la seule soluce (1,0) à la fin.

[lapras]

Bonsoir,
Ok ThSQ c'est une solution, j'avais aussi celle-ci en utilisant
De manière élémentaire, j'ai une bonne piste, mais c'est tres tres long ! (au moins deux pages....).
Aurais tu un cour sur ces anneaux factoriels ?
Quels sont les anneaux factoriels ?
Je connais qui n'est pas factoriel mais Z[j] est avec

[ThSQ]

Salut Lapras,

>> Aurais tu un cours sur ces anneaux factoriels ?

Des cours y'en a plein sur internet, au hasard :
http://www.les-mathematiques.net/b/c/b/node6.php3
http://people.math.jussieu.fr/~polo/M1/ATG05ch4.pdf

(merci google)

>> Quels sont les anneaux factoriels ?

Exemples classiques : tous les anneaux principaux (et les euclidiens donc), K[X], K[X,Y] si K est un corps, A[Z] si A l'est, ....

La "factorialité"est une propriétés pas très bien élevée, elle passe pas (systématiquement) au quotient, aux extensions (même simples), ....

[leon1789]

Exemples classiques : tous les anneaux principaux (et les euclidiens donc), K[X], K[X,Y] si K est un corps, A[Z] si A l'est, ....

La "factorialité" est une propriétés pas très bien élevée, elle passe pas (systématiquement) au quotient, aux extensions (même simples), ....

Salut, je suis d'accord avec toi ! (D'où la théorie des anneaux de Dedekind...)

En math constructives, l'implication "A factoriel => A[X] factoriel" n'est pas vraie.
Autrement dit, toute preuve démontrant ce transfert contient du tiers exclu (ou de l'axiome du choix ?)

idem pour A principal => A factoriel

Amusant non ?

[ThSQ]

En math constructives, l'implication "A factoriel => A[X] factoriel" n'est pas vraie.
Autrement dit, toute preuve démontrant ce transfert contient du tiers exclu (ou de l'axiome du choix ?)

N'est pas vraie ou n'est pas démontrable ?

Renoncer au tiers exclus ... Mmmm ça parait un peu extrême non ?

Le raisonnement pas récurrence est toléré par les constructivistes ?

Savoir qu'un objet existe même si l'on ne sait pas le construire explicitement me semble utile même dans une vision constructive par exemple via des "algorithmes" itératifs ou approchés.

[leon1789]

N'est pas vraie ou n'est pas démontrable ?

Je ne voudrais pas dire de bêtise, entre le "non démontrable", le "pas vrai" et le "faux"... surtout au nom des constructivistes...

Donc je vais dire qu'avec uniquement les axiomes des anneaux commutatifs, il est démontré qu'on ne peut pas prouver le transfert "A factoriel => A[X] factoriel".

idem pour "A principal => A factoriel"

Pour prouver ces implications, il faut des axiomes supplémentaires, comme le tiers exclus (ou l'axiome du choix ?).

Renoncer au tiers exclus ... Mmmm ça parait un peu extrême non ?

Extrême, je ne sais pas, mais dur à avaler quand on veut s'y mettre (et qu'on n'a pas l'habitude), oui ! Dur, mais intéressant !!

Cela dit, il y a des situations où le tiers exclus est démontré (et là, on peut l'utiliser : par exemple, dans Z, un entier est nul ou pas) ,
d'autres situations où il est prouvé qu'il est faux (exemple : dans R, un réel est nul ou pas.)

Cela donne des trucs un peu étrange. Pour les constructivistes, les nombres réels ne forment pas un corps, il n'est pas intègre ! Ah oui, les constructivistes font la différence entre "anneau intègre" et "anneau sans diviseur de zéro"...

Le raisonnement par récurrence est toléré par les constructivistes ?

Ca oui : ils prennent l'axiomatique de Péano, et pas celle de ZFC...

Savoir qu'un objet existe même si l'on ne sait pas le construire explicitement me semble utile même dans une vision constructive par exemple via des "algorithmes" itératifs ou approchés.

Si tu as un algo qui approche aussi près que tu veux (qui converge en clair !) alors la limite existe constructivement. Par exemple, exp(1) existe constructivement comme étant la série

Je suis d'accord avec toi qu'une preuve d'existence est déjà utile. Mais je comprends aussi l'intérêt pour certains matheux de rendre effectif cette existence (quand c'est possible évidemment) en montrant (l'existence d') un algo qui ...

Par exemple, un truc dont l'existence est équivalente à l'axiome du choix, ne sera jamais réalisable concrètement. Inutile de croire qu'on réalisera le paradoxe de Banach-Tarski
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

En revanche, si, dans une situation concrète, l'axiome du choix sert à prouver un résultat concret (par exemple qu'un idéal est monogène dans tel anneau) alors il y a "moralement" un moyen d'obtenir une preuve constructive de ce résultat. faut-il encore la trouver...

[ThSQ]

Ok merci Léon.

Autant je comprends l'intérêt d'une construction effective (et l'intérêt d'une preuve sans absurde) autant l'intérêt de se "faire du mal" en supprimant des outils, bof.

Ca ressemble de loin à quelqu'un s'interdisant d'utiliser le marteau pour planter un clou.

OK Banach-Tarski on n'est pas près (ni prêt d'ailleurs) de le voir pour de vrai. Mais bon ... même ça se voit pas non plus c'est une construction abstraite aussi. Donc ...

[ffpower]

Salut..Leon,es tu sur que si on peut démontrer un résultat concret avec l axiome du choix,alors on peut le démontrer sans?par ex,si on démontre qu un espace est dense par hanh banach,alors on peut faire sans?

[ThSQ]

Je ne sais pas ce que Léon appelle un résultat concret mais l'existence d'une base de IR comme Q-espace vectoriel est un résultat concret pour moi (IR, Q, espace vectoriel, tout ça c'est bien connu et "concret") et ça n'est pas démontrable sans AC.

[ffpower]

C est le "il existe" qui n est pas concret

[ThSQ]

Tu par lais de résultat concret. Ca en est un.

[leon1789]

En revanche, si, dans une situation concrète, l'axiome du choix sert à prouver un résultat concret (par exemple qu'un idéal est monogène dans tel anneau) alors il y a "moralement" un moyen d'obtenir une preuve constructive de ce résultat. faut-il encore la trouver...

Salut..Leon, es tu sur que si on peut démontrer un résultat concret avec l axiome du choix,alors on peut le démontrer sans?

Non, il n'y a aucune preuve de cela : c'est pour ça que j'ai écrit "moralement".
C'est plutôt une philosophie...

par ex,si on démontre qu un espace est dense par hanh banach,alors on peut faire sans?

Si le sous-espace est "concret" dans un gros espace vectoriel "concret", avec une norme "concrète", bref, si tous les objets mis en jeu sont "concrets", alors oui je pense (mais je n'ai pas dit que la preuve serait instantanée !).

Que signifie "concret" ? disons visualisable, calculable...

[ThSQ]

Si le sous-espace est "concret" dans un gros espace vectoriel "concret", avec une norme "concrète", bref, si tous les objets mis en jeu sont "concrets", alors oui je pense (mais je n'ai pas dit que la preuve serait instantanée !).

Quoi de plus concret que IR ET Q ...
Ca ne tient pas Léon ...

[leon1789]

Quoi de plus concret que IR ET Q ...
Ca ne tient pas Léon ...

Je vais te décevoir, mais " le concret ", c'est le contraire de " l'imaginaire " pour ainsi dire...

Que les nombres réels (encore faut-il ce qu'on entend par nombre réel) forment un Q-espace vectoriel, c'est concret, pas de problème : cela signifie que si on prend , , alors , etc. c'est-à-dire que les axiomes des espaces vectoriels sont vérifiés concrètement.

Mais un ensemble infini (comme Q, R, une base de R sur Q, etc), ce n'est pas concret : les ensembles infinis ne vivent que dans nos têtes ! Tu as déjà vu un ensemble infini sur ta table de cuisine ?

En revanche, on peut essayer d'exhiber concrètement une partie finie d'un ensemble infini.
Je peux te donner concrètement un aperçu d'une base de R sur Q, autant d'éléments que tu en voudras... mais je ne pourrais pas te montrer une infinité d'éléments : pas assez de doigts :we: !

Les entiers sont concrets , mais l'ensemble des entiers est abstrait. :triste:

Tu es déçu, je le vois bien...

Je vais préparer un exemple d'une preuve utilisant l'axiome du choix pour démontrer un truc concret, accompagné d'une preuve concrète.

[ThSQ]

Tu es déçu, je le vois bien...

Effectivement, mais plus par ta mauvaise fois inébranlable que par tout autre chose :ptdr: :lol4:

[leon1789]

:doh: :doh: What ?!?!
Ben moi, j'appelle ça de la clairvoyance :id: :ptdr: