Espace vectoriels

[legeniedesalpages]

Bonjour, je ne vois pas comment montrer ce point du cours:

Soient f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension finie, et v un vecteur de E.

On note sous-espace de E de dimension i.

Alors est une base de .


Merci pour votre aide.

[klevia]

Salut, je dis peut-etre une bétise mais que se passe-t-il si v est un vecteur propre de f ? ça marche pas !!!

[klevia]

Soit k tel que { } soit libre et { } soit lié
montrons que k=i

alors s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de { } et pour tous n>k aussi.
donc vect { }=vect{ } et donc k=i.

[legeniedesalpages]

Soit k tel que { } soit libre et { } soit lié
montrons que k=i

alors s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de { } et pour tous n>k aussi.
donc vect { }=vect{ } et donc k=i.

Je ne comprends pas pourquoi s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de { }.

[klevia]

dsl, j'ai fait une petite erreur ... je reprends...
s'exprime comme combinaison lineaire des vecteurs { } et pour tout n>k aussi
d'ou { } est une base de Ev ( libre et générateur) et donc k=i

[legeniedesalpages]

dsl, j'ai fait une petite erreur ... je reprends...
s'exprime comme combinaison lineaire des vecteurs { } et pour tout n>k aussi
d'ou { } est une base de Ev ( libre et générateur) et donc k=i

merci klevia, juste encore un petit point qui me chiffonne, pourquoi on a:


pour tout n>k est combinaison linéaire des vecteurs { }

et pourquoi on aurait pas par exemple combinaison linéaire de

(je ne vois pas d'où vient le fait que combinaison linéaire des vecteurs { } entraîne que cette famille de trois vecteurs n'est pas libre ?

[klevia]

on a donc que s'exprime comme combinaison linéaire des { }
c'est a dire que il exite a0,...., ak-1 appartenant à K tel que

Ainsi


et s'exprime aussi comme combinaison linéaires des vecteurs { }
Au final, est combinaison linéaire des vecteurs { }
par récurrence simple pour tout n>k est combinaison linéaire de { }

[legeniedesalpages]

ah oui d'accord, merci Klevia.

[legeniedesalpages]

Si je considère la matrice




que je sais que son polynôme caractéristique est , et donc que je sais qu'elle est diagonalisable, comment je peux la mettre sous forme diagonale?

[klevia]

Ca fait longtemps que je l'ai plus fait mais:
Les valeurs propres de ta matrice sont 1,2 et 3
il faut chercher les vecteurs propres v1,v2 et v3 associés à chacune de ses valeurs.
dans la base (v1,v2,v3)
ta matrice est la suivante:
1 0 0
0 2 0
0 0 3

il peut être utili de connaitre la matrice de passage qui permet de te faire passer de la base canonique à (v1,v2,v3), c'est tout simplement , en colonne, les coordonnées de v1,v2 et v3 dans la base canonique

[legeniedesalpages]

il faut chercher les vecteurs propres v1,v2 et v3 associés à chacune de ses valeurs.

Justement c'est ce point que je comprends pas vraiment,

Par exemple le sous-espace propre à la valeur 1 : .

Je trouve que . Alors je peux déduire que où j'ai raté un épisode?

[klevia]

J'ai pas vérifié tes calcul mais oui, c'est ça !!!

[legeniedesalpages]

ok et donc après j'aurai et alors c'est bien ça?

[klevia]

cela me semble bon ...

[legeniedesalpages]

ok merci klevia,

et si je veux calculer ,

donc je considère la matrice de par rapport à .

Mais est-ce que je peux exprimer facilement ?

[klevia]

est facile à calculer ...
de plus
d'ou

[legeniedesalpages]

ok merci klevia,

et si je veux calculer ,

donc je considère la matrice de par rapport à .

Mais est-ce que je peux exprimer facilement ?

que je suis bête, on a vu que (n fois)

[tize]

Bonjour Klevia,
Salut Legénie, je crois bien que tu es le seul membre du forum à poser une question et y répondre tout en te citant :ptdr:

[Monyladouce]

Slt à Vs!
Ben! à peine que j'ai découver ce Forum que je trouve génial, en fait j'éspére étre la Bienvenue :lol:
Apparament;j'ai Besoin d'un cours Bien détaillé avec des exos (Si C possible) de la Mécanique pr Smi/Sma.
et merci D'avance!!!

[legeniedesalpages]

Bonjour Klevia,
Salut Legénie, je crois bien que tu es le seul membre du forum à poser une question et y répondre tout en te citant :ptdr:

C'est vrai, c'est impulsif lol