Espace vectoriels et bases

[meska]

bonjour
jai le pb suivant sur lequel je bute :

on defini 3 sous ensemble du Respace vectoriel R^3

E={(x,y,z) tq 5x+2y-3z =0}
F={(x,y,z) tq x-2y+z=0}
G={(x,y,z) , a € R, (x,y,z)=a(-2,1,-1)}

verifier que E, F et G sont des sev de R^3 (sa pas de souci)
calculer la dimension de E et celle de F. Peut on avoir R^3 = somme directe de E et F?
(sa je ne sais pas comment faire :/)
Determiner E+F et E inter F
montrer que R^3 = somme directe de E et G = somme directe de F et G.

voila quelqu'un pourrai t'il meclairer sur la methode pour calculer les dimensions et le calcul des sommes directes?

merci davance!

[legeniedesalpages]

salut,

pour calculer la dimension, essaie d'extraire une base et compte ses éléments.

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Tu ne vas pas me croire mais ici c'est un problème de niveau 1ère :lol3:

En effet, regarde ce que représentent tes sev E et F.

Tu es dans l'espace R^3, E et F sont ... des plans !

Pour en trouver une base comment fait-on? Une méthode bourrine mais qui marche ici : Tu sais que E et F sont des plans donc a priori ils vont être engendrés par 2 vecteurs non colinéaires.
L'idée est donc de trouver deux vecteurs du plan et montrer qu'alors ils sont libres et générateurs.

Pour la dimension une fois que tu auras trouvé la base ce sera bon.

E et F peuvent-ils être en somme directe? Ca risque d'être dur, pour obtenir l'espace tout entier on a seulement besoin d'un plan et d'une droite.
Deux plans c'est trop, il y a des vecteurs qui pourraient se décomposer de plusieurs façon.

Pour être rigoureux : Que peut-on dire de la dimension de E+F s'ils étaient en somme directe? Or quelle est la dimension de R^3 ?

Si tu as compris regarde G, d'après toi c'est quoi comme sev?

[mayele]

dim(E+F)=dim(E)+dim(F)