Image espace vectoriels

[Dante0]

Bonjour,

J'ai un problème énorme avec la notion d'image j'ai beau faire des efforts j'arrive pas à comprendre (je précise pour les espace vectoriels, pas pour les fonctions usuelles)

Soit l'application linéaire g(.) définie par
Y=g(X) = BX
Avec
B =
-2 1 1
2 0 -1
2 -2 -1

1) déterminer l'ensemble img
2)donner une base de img
3) donner une dimension de kerg
4) déterminer kerg
5) quelle doit etre la forme du vecteur U pour que le système BX=U ait au moins une solution ? Le cas échéant le système a t-il une solution unique ?

Merci pour vos réponses.

[Nightmare]

Salut,

que ne comprends-tu pas exactement? L'image est l'ensemble des images (d'où le nom!). Dans le cas d'un ev, l'image est elle-même un espace vectoriel, qui consiste en l'ensemble des vecteurs que l'on peut obtenir en appliquant l'application linéaire g.

[Dante0]

Salut,

que ne comprends-tu pas exactement? L'image est l'ensemble des images (d'où le nom!). Dans le cas d'un ev, l'image est elle-même un espace vectoriel, qui consiste en l'ensemble des vecteurs que l'on peut obtenir en appliquant l'application linéaire g.

Ben je ne sais pas comment trouver cet ensemble d'images justement !

[Nightmare]

Dans le cas des ev, on a une propriété bien pratique qui nous dit que cette image est déterminée par les images des vecteurs de la base!

[Dante0]

Dans le cas des ev, on a une propriété bien pratique qui nous dit que cette image est déterminée par les images des vecteurs de la base!

De quelle base tu parles ?

[Nightmare]

Celle de l'espace vectoriel bien sûr.

D'où vient l'écriture matricielle? Pourquoi peut-on représenter une application linéaire par une matrice? Parce qu'on sait qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image des vecteurs d'une base de l'espace de départ.

[Dante0]

Je crois que tu parles de la base de l'application linéaire donc de celle de la matrice B ?

Pour info le corrigé dit que img = x(-2,0,2) +y(1,0,2) +z(1,-1,-1) avec x,y,z réels en colonne bien sur.
Je comprends pas trop on s'est contenté de réécrire la matrice B avec des coefficients (ce serait un système générateur de R^3 en fait ?) ? Si c'est la base alors il faut enlever ou le premier ou le dernier vecteurs puisqu'ils sont liés non ?

[Nightmare]

Une application linéaire n'a pas de base, une matrice non plus. Un espace vectoriel par contre oui.

Je pense qu'il faudrait que tu revois tes notions de base d'algèbre linéaire (sans mauvais jeu de mots)

[Dante0]

Une application linéaire n'a pas de base, une matrice non plus. Un espace vectoriel par contre oui.

Je pense qu'il faudrait que tu revois tes notions de base d'algèbre linéaire (sans mauvais jeu de mots)

Bah en même temps c'est ca la base de l'algèbre linéaire... je n'en fais que depuis 3mois après tout.
Sans s'écarter du sujet, qu'est-ce que tu penses des 3dernières lignes de mon post précédent ?

[Dante0]

Trouver l'image revient simplement à réécrire les colonnes de la matrice qui représente l'application linéaire ? :doh:

[Anonyme]

@Dante0

Piste de travail :
Le vecteur (1,-1,-1) est l'image du vecteur (0,0,1)

[Dante0]

@Dante0

Piste de travail :
Le vecteur (1,-1,-1) est l'image du vecteur (0,0,1)

Alors la je comprends plus rien ! :doh:
L'image par quelle fonction ?

[Anonyme]

@Dante0

Un "rien" te bloque complétement !

OK désolé : j'aurais du utiliser le mot : "application linéaire g" au lieu de "fonction"

Est-ce plus clair maintenant ?

[Anonyme]

Pourquoi parles-tu de fonction ?

Dans cette discussion / exo quand on parle d'image , cela sous entend "par l'application linéaire g"

Est-ce plus clair maintenant ?

[Dante0]

Pourquoi parles-tu de fonction ?

Dans cette discussion / exo quand on parle d'image , cela sous entend "par l'application linéaire g"

Est-ce plus clair maintenant ?

Justement je vois pas comment appliquer la notion d'image à une application linéaire représentée par une matrice...
D'habitude on prend une fonction et on cherche l'image de l'antécédent 3 par cette fonction.
En gros pour être clair, je ne saisis pas le concept d'image appliqué aux ev même si la notion reste identique. Je comprends la notion d'image mais je ne sais pas comment l'appliquer en fait.
La par exemple je ne sais pas comment tu es arrivé au résultat que tu proposes.

[Anonyme]

Je pense qu'il faudrait que tu revois tes notions de base d'algèbre linéaire (sans mauvais jeu de mots)

@Dante0

J'ai recopié le conseil que t'avait donné Nightmare

car je pense , également , que tu n'as rien compris à la notion d'application linéaire , d'EV de dim n et de base de cet EV , et de matrice associée à cette application linéaire , et de la notion d'image d'un vecteur....etc.....

( juste pour information : une application linéaire fait partie "du monde des fonctions" )

Aussi au lieu de poster des messages sur Maths-Forum je t'encourage à re-lire ton cours sur ce chapitre

A+

[Anonyme]

D'habitude on prend une fonction et on cherche l'image de l'antécédent 3 par cette fonction.

Re-salut
Un conseil supplémentaire :
relis tes messages à 2 fois avant de les envoyer sur Maths-Forum car LA : c'est vraiment n'importe quoi !

ps1)
les notions d'image et d'antécédent sont enseignées en classe de seconde
et ce n'est pas parce qu'on parle d'application linéaire et de matrice que cela change quelque chose....


ps2)
Dans l'énoncé de ton exo il est écrit :

"Soit l'application linéaire g définie par Y=g(X) = BX "

D'après toi que représente X ? et que représente Y=g(X) ?

et comment calcule-t-on Y pour un X donné ?

[Dante0]

Re-salut
Un conseil supplémentaire :
relis tes messages à 2 fois avant de les envoyer sur Maths-Forum car LA : c'est vraiment n'importe quoi !

ps1)
les notions d'image et d'antécédent sont enseignées en classe de seconde
et ce n'est pas parce qu'on parle d'application linéaire et de matrice que cela change quelque chose....


ps2)
Dans l'énoncé de ton exo il est écrit :

"Soit l'application linéaire g définie par Y=g(X) = BX "

D'après toi que représente X ? et que représente Y=g(X) ?

et comment calcule-t-on Y pour un X donné ?

X c'est l'antécédent et Y c'est l'image de X par g non ?

[Anonyme]

OUI

OUf....

et je re-écris mon message qui t'a tant dérouté....

Piste de travail :
Le vecteur (1,-1,-1) est l'image du vecteur (0,0,1)

[Dante0]

OUI

OUf....

et je re-écris mon message qui t'a tant dérouté....

Je vois toujours pas ou tu veux en venir...
Ah... Tu as fait le produit de B et de la 3e colonne...