Arithmetique

[cedric125]

bonsoir est ce que je pourais avoir de l'aide sur cet exercice?

soit (a,b)∈Z². On pose I=aZ +bZ={s∈I/∃(x,y)∈Z²,s=ax+by}

1)montrer que I est un idéal de Z.
2)I contient donc un plus petit élément positif d tel que I=dZ
a)montrer que d est un diviseur commun à a et b
b)montrer que pour tout c∈Z c|a et c|b =>c|d
c)conclure

[GaBuZoMeu]

Aide-toi, et le ciel (bon, plutôt les intervenants habituels) t'aidera.
En particulier, la première question consiste juste à appliquer la définition d'idéal.

[cedric125]

Haha
Oui j'ai fais la première question ce n'etai pas diable
Je suis bloqué a la deuxième

[Aispor]

Salut,

2a)montrer que d est un diviseur commun à a et b.

On a
Donc il existe tel que
C'est à dire que a est un multiple de d.
C'est à dire que .
Tu peux faire de même pour b.
Et d est un diviseur commun à a et b.

[Aispor]

2b). Supposons que c∈Z avec et

Montrons que c|d

, notons le
, notons le

Puisque
Il existe tel que

Donc
d est un multiple de c.
ie

[Aispor]

En conclusion.
On a montré que d est un diviseur commun à a et b.
Que si on prend un autre diviseur commun à a et b, alors il divise aussi d. (et donc c est un multiple de d, donc il est en valeur absolue plus petit que d)
Donc d est le plus grand de ces diviseurs communs à a et b.

[cedric125]

merci beaucoup aispor