Moyenne arithmétique géométrique,harmonique

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:10

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour un dm. Je bloque au départ et cela m'empeche de réaliser la suite. Merci d'avance.

Soit ma=(a1+a2+...an)/n une moyenne arithmétique.
Soit mg=$\sqrt{a1a2...an}$ (nième) une moyenne géométrique.
Montrons que mg est strictement inférieur ou égale à ma.

J'espère que vous comprenez merci

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:12

Bonjour,

tu as deux choix : soit par l'inégalité du réordonnement soit par une récurrence descendante.

Je te laisse y réfléchir, mais je peux t'aider en cas de besoin.

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:14

Voir ici pour plus d'infos : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=93798

par **Ericovitchi** » 31 Oct 2009, 16:16

Oui ça s'appelle l'inégalité de la moyenne ou encore Inégalité arithmético-géométrique

tu trouveras des démos un peu partout en tapant ces mots clefs.
Par exemple en utilisant une inégalité de convexité sur la fonction ln. --> démo

EDIT : Whoua doublement grillé par Tim. Mauvaise journée :we:

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:18

Quant à la moyenne harmonique il existe une relation similaire la liant à la moyenne géométrique, je te laisse la trouver (seul !).

EDIT : :lol: je vais goûter là, guette les nouveaux topic et tu seras sûr de me griller cette fois-ci :sen:

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:21

euh je suis aller voir ton lien mais je ne vois pas du tout.Qu'apelles tu inégalité de réordonnement???

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:22

merci pour le second lien je vais essayer avec sa.

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:24

Essaye de chercher sur le Net, c'est long à expliquer :lol2:

Tu ne l'as pas étudiée ? Je ne sais pas quand est-ce que ça se voit. On s'en sert beaucoup pour les Olympiades. Peut-être qu'Animath en touche deux mots sur son site.

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:27

non je ne l'ai pas étudié et je ne sais pas si on le voit en sup. Mais étant donné qu'on nous le donne en dm je ne pense pas que je vais l'étudié.

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:28

Dommage, ça sert beaucoup !

Enfin bref, pour l'IAG tu peux peut-être essayer la récurrence ? Je pense que c'est plus simple si tu ne connais pas l'inégalité du réordonnement.

par **Ericovitchi** » 31 Oct 2009, 16:29

Alors fais avec une inégalité de convexité c'est plus simple.

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:36

Notre prof nous parle de logarithme népérien donc je pense qu'il veuille qu'on utilise ln(mg) inférieur ou égale a ln(ma) donc je vais essayer comme sa. On verra bien.

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 16:37

Ouais ok, la récurrence me semblait plus atteignable, m'enfin :)

par **ore29360** » 31 Oct 2009, 16:43

mais comment je passe de cette inégalité a un triplet ( x,y,z) car par la suite je dois démontrer x^{4}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{4}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{4}+1 est strictement supérieur ou égale à 0??

par **Ericovitchi** » 31 Oct 2009, 17:23

une somme de termes positifs + 1, ça ne semble pas bien dur de démontrer que c'est positif ;+)

par **Timothé Lefebvre** » 31 Oct 2009, 17:24

Et je ne vois pas comment ça peut être nul ;)

Moyenne arithmétique géométrique,harmonique

moyenne arithmétique géométrique,harmonique

Qui est en ligne