[Arithmetique] Démontrer le Théorème de Bezout

par **Delroth** » 17 Jan 2009, 04:39

Bonjour !

Peut-être vous l'aurez remarqué, je suis sur l'arithmétique en ce moment !

Montrer le Théorème de Bezout :

a^b=1 Il existe (u, v) appartenant à Z tel que au + bv = 1.

J'ai " " !

Quelqu'un saurait m'aider ?

par **lapras** » 17 Jan 2009, 08:23

Salut
soit on le fait de façon classique avec l'algorithme d'euclide, sinon autre façon :
considère le plus petit m entier strictement positif qui s'écrit sous la forme de au + bv. que peux tu dire sur m ?

par **Delroth** » 17 Jan 2009, 13:08

Par le coefficiant de Bezout :

m = a^b mais justement... Est-ce qu'on a le droit de le montrer comme ça... Jveux dire, démontrer le théorème grâce au coefficient.. ? :hein:

Et comment le montrer par l'algorithme d'euclide ?! :id:

par **AL-kashi23** » 17 Jan 2009, 13:43

Moi je te propose d'utiliser la définition du pgcd comme somme d'idéaux... Bezout s'en déduit tout de suite et c'est bien moins fastidieux que l'utilisation de l'algo d'euclide.

par **lapras** » 17 Jan 2009, 13:56

Oui mais les idéaux sont ils vus en prépa ?

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 14:13

Dans une démonstration le théorème de Bézout, il est sous-entendu qu'on utilise pas le fait que Z est un anneau principal (cf idéaux and co), sinon ce n'est pas une démo, mais une trivialité !

L'algo d'Euclide étendu aux coefficients de Bézout (justement :id:) fait ce qu'il faut.

par **SimonB** » 17 Jan 2009, 14:18

lapras a écrit:Oui mais les idéaux sont ils vus en prépa ?

C'est au programme de maths spé MP. Je ne sais pas pour les PSI et les PC.

par **guigui51250** » 17 Jan 2009, 14:19

AL-kashi23 a écrit:Moi je te propose d'utiliser la définition du pgcd comme somme d'idéaux... Bezout s'en déduit tout de suite et c'est bien moins fastidieux que l'utilisation de l'algo d'euclide.

Euh il n'y a pas une autre methode? parce qu'en spé maths (Terminale) on l'a démontré ce théorème mais sans parler des idéaux (inconnu au bataillon)

par **_-Gaara-_** » 17 Jan 2009, 16:10

AL-kashi23 a écrit:Moi je te propose d'utiliser la définition du pgcd comme somme d'idéaux... Bezout s'en déduit tout de suite et c'est bien moins fastidieux que l'utilisation de l'algo d'euclide.

pour faire ça faut revoir tout le chapitre ^_^

par **Delroth** » 17 Jan 2009, 18:43

Ok alors pour ceux que ca interesserait, en fait j'ai retrouvé un moment dans le cours où il expliquait la démonstration, c'est avec le coefficiant qu'on fait ça :)

Merci à tous ! :we: :we:

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 18:47

Delroth a écrit:c'est avec le coefficiant qu'on fait ça

tu veux dire quoi ?

par **ThSQ** » 17 Jan 2009, 18:58

Delroth a écrit:c'est avec le coefficiant qu'on fait ça

Euh, quel coefficient au juste ??

Sinon la démo classique est là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bachet-B%C3%A9zout

Pour Léon : trouver un anneau non noethérien dans lequel deux éléments quelconques possèdent un pgcd :happy:

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 19:09

ThSQ a écrit:Pour Léon : trouver un anneau non noethérien dans lequel deux éléments quelconques possèdent un pgcd :happy:

on prend un anneau factoriel non noethérien comme Z[X_1,X_2,....] :happy:

Tu connais les anneaux de valuation ? pgcd(a,b)=a ou b !

par **ThSQ** » 17 Jan 2009, 19:14

Mince j'avais dit non noethérien justement pour que tu ne sortes pas un anneau de polynômes mais j'avais plus pensé à celui-là :marteau:

Bon, ni noethérien ni factoriel alors :zen:

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 19:38

ThSQ a écrit:Mince j'avais dit non noethérien justement pour que tu ne sortes pas un anneau de polynômes mais j'avais plus pensé à celui-là :marteau:

Bon, ni noethérien ni factoriel alors :zen:

Je peux tricher ?
--> ( ZxZ ) [X_1,X_2,....] (pas intègre, pas factoriel, pas noethérien)

Sérieux, un exemple qui ne soit pas un anneau de polynômes...

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 19:59

ThSQ a écrit:Mince j'avais dit non noethérien justement pour que tu ne sortes pas un anneau de polynômes mais j'avais plus pensé à celui-là :marteau:

Bon, ni noethérien ni factoriel alors :zen:

Je peux tricher ? (pas intègre, pas factoriel, pas noethérien)
--> ( ZxZ ) [X_1,X_2,....]
--> Un produit infini de corps

Tu veux un anneau à pgcd, intègre, non noethérien, non factoriel, qui ne soit pas un anneau de polynôme ? ...

par **ThSQ** » 17 Jan 2009, 20:11

Zactement !

Sinon un corps n'est-il pas un exemple (certes idiot) d'anneau de valuation ?

par **leon1789** » 17 Jan 2009, 20:16

ThSQ a écrit:Zactement !

bon alors je vais prendre un anneau de valuation dont le groupe des valeurs est R (ou plus simplement Z^2)

ThSQ a écrit:Sinon un corps n'est-il pas un exemple (certes idiot) d'anneau de valuation ?

c'est une question de définition : je crois qu'empêche d'entrée de jeu à un anneau de valuation d'être un corps.

par **ThSQ** » 17 Jan 2009, 23:44

Je pensai pas à un truc comme ça mais je regarderai demain

par **Imod** » 18 Jan 2009, 00:14

Bonsoir,

On s'interroge sur Bézout dans

et on sort des idéaux et autres anneaux factoriels , noethériens ... trouver l'erreur :zen:

Imod

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