Arithmétique dans Z

[pouik]

Bonsoir,
Je viens de commencer l'arithmétique (et je n'en ai pas fais en TS : j'étais en physique) et je n'arriva à rien avec cet exo. Donc si vous pouviez m'aider à le résoudre, ce serait formidable. Merci d'avance pour votre aide.

1. Valuation p-adique de Soient , et . On se propose de déterminer la puissance de figurant dans la décomposition en facteurs premiers de .
On note le plus grand entier tel que .

(a) Montrer que pour tout , le nombre de multiples (au sens large) de inférieurs ou égaux à est .

(b) Calculer, selon la valeur de , le nombre de multiples de exactement inférieurs ou égaux à .

(c) Ecrire alors la valeur de la puissance de recherchée faisant intervenir une somme, puis après simplification, en déduire que cette puissance est :

[fahr451]

un multiple de p^k s écrit sp^k avec s entier on veut

0 donc s étant entier s compris entre 1 et E(n/p^k) ce qui fait exactement
E(n/p^k) valeurs pour s

[pouik]

okay pour la 1, je comprends bien !

Par contre pour la 2, je ne vois pas comment m'y prendre.

[fahr451]

un multiple exactement de p^k est un multiple de p^k qui n'est pas multiple de p^(k+1)

on compte les multiples de p^k et on retranche le nombre de multiples de
p^(k+1) à savoir E(n/p^k) -E(n/p^(k+1))

[pouik]

Bonjour, Je ne comprends pas bien :

[B]

un multiple exactement de p^k est un multiple de p^k qui n'est pas multiple de p^(k+1)

[fahr451]

plus précisément pour un nombre x, la puissance de p ( p premier fixé) ds la décomposition de x est k ssi p^k divise x et p^(k+1) ne divise pas x

[pouik]

ah d'accord, parce qu'on l'avait pas vu en Cours (PS : C'est bien du programme de Sup ?).

Enfin, pour la dernière je vois bien qu'il faut faire varier (avant il était fixe), mais le problème c'est que je ne vois pas exactement comment !

[pouik]

Un petite AIDE s'il vous plair pour la 3

[fahr451]

on fait la somme de tous les exposants de p présents dans n!

il y a E(n/p) -E(n/p^2) nbres qui ont 1 comme puissance de p
il y a E(n/p^2) -E(n/p^3) nbrs qui 2 ..........

il y a E(n/p^k) E(n/p^(k+1) nbrs qui ont k ....... ( k fixé )

d'où un exposant total ds n! égal à

1[(E(n/p)-E(n/p^2) ] + 2 (E(n/p^2)-E(n/p^3)] +...+q(n)E(n/p^(q(n))

égal à


E(n/p)+E(n/p^2) +... +E(n/p^(q(n))par simplification

[pouik]

je comprends pour la 3 :we: .

Toutefois, il me reste deux questions sur cet exercice que je pensais être en mesure de résoudre avec les réponses aux questions mais en fait ce n'est pas le cas ! Donc je me permets de vous demander de l'aide. :triste:

- Montrer qu'il suffit de connaître les puissances de et de figurant dans la décomposition de en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?)
- Résoudre entièrement le problème.

Merci d'avance pour votre aide : je ne vois absolument pas comment faire :briques: :briques:

[abcd22]

Bonsoir !

- Montrer qu'il suffit de connaître les puissances de et de figurant dans la décomposition de en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?)

Si on appelle le nombre de 0 figurant à la fin de 2007!, cela signifie que , où A est un entier naturel qui n'est pas divisible par 10, donc non divisible par 2 ou non divisible par 5...

- Résoudre entièrement le problème.

Si tu trouves la question précédente il n'y a plus qu'à faire le calcul en utilisant le 3).

[pouik]

Bonsoir,
Merci pour vos indiocations mais ça ne m'aide guère plus. je dois avouer que j'ai beaucoup de mal sur ce chapitre que je n'ai pas étudié l'an dernier. :doh: :doh:

[abcd22]

Dire que A n'est pas divisible par 2 ou par 5 ça signifie que :
- soit tous les 2 sont dans le 2^n donc n est l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 2007!, et comme 5^n divise 2007! on sait aussi que l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2007! est supérieur ou égal à n
- soit n est l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 2007!, et l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 2007! est supérieur ou égal à n.
On peut donc en déduire n en fonction des exposants de 2 et 5 dans la décomposition de 2007! en facteurs premiers...

[fahr451]

en fait l exposant de 2 est supérieur à celui de 5 donc il suffit de connaitre celui de 5.

[aviateurpilot]

- Montrer qu'il suffit de connaître les puissances de et de figurant dans la décomposition de en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?)

si tel que et . donc car le nombre de multiples de 5 et plus petit que le nombre de multiples de entre et .
donc
puique donc
c-a-dire que la fin de l'écriture du nombre est differente de ,
donc contient ""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de

[pouik]

Bonjour, et merci à tous pour vos réposnes,
Cependant je ne comprends pas pourquoi :

donc 2007! contient b ""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de 2007!

[pouik]

PS : pour aviateurpilot,
J'ai un exo sur la fonction indicatrice d4euler (c'est de l'arithmétique comme vous aimez) que je n'arrive pas à résoudre entièrement.
Donc si vous êtes preneur, ça m'arrangerais énormément. :zen:

[pouik]

De grâce, quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce que signifie, car je ne comprends toujours pas. :marteau: :marteau:

donc 2007! contient b ""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de 2007!

Merci d'avance

[fahr451]

pour faire un zéro il faut un 2 et un 5 ok ?

si ds la décomposition de 2007! il y a 6 fois le nbre 2 et 3 fois le nbre 5 il y aura 3 zéros oui ou non ?

[pouik]

oui car :