[Colle] - Arithmétique, Fibonacci et Lucas

[Lostounet]

Oui tu montres cette implication "par l'absurde" (ou par contraposée, c'est la même chose) et tu refais la même chose que ce que t'avais fait avant avec ton u qui divisait les gens.

Je suis perdu :/

[Doraki]

On suppose que et admettent un diviseur strict u. u divise toute combinaison linéaire de et de, en particulier u divise leur différence.
Or par définition, . Donc ...

Maintenant, attention :
J'ai un entier n et j'aimerais bien montrer que si Fn et Fn+1 sont premiers entre eux alors Fn+1 et Fn+2 sont premiers entre eux.

Pour cela, raisonnons par l'absurde.
On suppose que et admettent un diviseur strict u. u divise toute combinaison linéaire de et de, en particulier u divise leur différence.
Or par définition, . Donc ...

[Lostounet]

u divise Fn...

u divise donc Fn+1 et Fn...
C'est du P(n+1) => P(n) ?

[Doraki]

Je te demande pas si c'est du P(n+1) => P(n), je te demande si tu arrives à terminer la preuve que "si Fn et Fn+1 sont premiers entre eux alors Fn+1 et Fn+2 sont premiers entre eux".
Là on a choisi de procéder par l'absurde donc on a supposé que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux mais que Fn+1 et Fn+2 ne sont pas premiers entre eux, et on cherche une contradiction.

[Lostounet]

Si je pars du fait que:
Si A vraie => B vraie
Alors non (B) => non (A)

On veut montrer que si Fn et Fn+1 sont premiers entre eux, alors Fn+1 et Fn+2 sont aussi premiers entre eux.
Je suppose que Fn+1 et Fn+2 ne sont pas premiers entre eux, alors ils admettent un diviseur strict u.
Donc Fn = Fn+2 - Fn+1 est divisible par u, donc Fn et Fn+1 ont un même diviseur strict u.

Fn et Fn+1 ne sont pas premiers entre eux, non (B) => non (A)...

C'est du n'importe quoi? car ça me parait un peu logique :D

[Doraki]

Si, c'est ce que j'essaye de te faire écrire depuis le début.

[Lostounet]

Maintenant back to la démonstration en question, si j'amorce à k = 1
L'hérédité ne peut pas être montrée en utilisant des Fm+n ?

P.S: Ils croyaient vraiment que j'allais finir cet exo pendant la colle? :D

[Lostounet]

Par contre je ne comprends pas ce passage (l'hérédité). En gros ils supposent l'équivalence vraie jusqu'à k, ok...
Et après ils utilisent le fait que d divise Fn+m (qui est l'initialisation..?) J'ai le droit de faire ça?

[Sourire_banane]

Maintenant back to la démonstration en question, si j'amorce à k = 1
L'hérédité ne peut pas être montrée en utilisant des Fm+n ?

P.S: Ils croyaient vraiment que j'allais finir cet exo pendant la colle?

En général, on ne s'attend pas à ce que tu finisses ta colle si l'exo est un peu dur, seulement à ce que tu fasses preuve d'un esprit d'initiative et que tu cherches des pistes.

[Lostounet]

Oui c'est pour ça que j'ai eu 14 :p

J'essaye de finir l'exo aujourd'hui xD

[Lostounet]

Je ne comprends pas comment ils peuvent supposer l'implication vraie au rang k+1, dans la démonstration de l'implication réciproque (cf l'image il y a deux posts).
Il supposent que Fn et Fm+(k+1)n est divisible par d alors que... c'est pas ça l'hypothèse de récurrence?

[Ben314]

L'hypothèse de récurrence, c'est, pour un k fixé, que:

(d divise et ) (d divise et )

donc tu suppose que cette équivalence est vraie (ce qui ne veut pas dire que les deux cotés de l’équivalence sont vrais !!!)
Il faut ensuite que tu démontre que l'équivalence suivante est vrai, c'est à dire
(d divise et ) (d divise et )
est elle aussi vrai (et ça ne signifie toujours pas que les deux cotés sont vrai)
Et, comme souvent, pour montrer qu'une équivalence est vrai, tu procède par double implication :
- Si A est vrai alors..... donc B est vrai.
- Si B est vrai alors..... donc A est vrai.

[Lostounet]

Je vois apparaitre une proposition C alors. Je dois "deviner" (en regardant ce qu'il me faut pour la récurrence) que (d divise Fn et Fm) ça équivaut à C, et donc que C équivaut à (d divise Fn et Fm + kn)..?

[Ben314]

Je vois apparaitre une proposition C alors. Je dois "deviner" (en regardant ce qu'il me faut pour la récurrence) que (d divise Fn et Fm) ça équivaut à C, et donc que C équivaut à (d divise Fn et Fm + kn)..?

Pas bien compris qui c'est ton 'C' là.
A noter que je me suis gourré : j'ai recopié ton énoncé sans tenir compte de la remarque de Doraki signalant (à juste titre... :marteau:) que... l'énoncé était faux...

Je viens de modifier mon post précédent...

[Lostounet]

Ce n'est pas grave, ça ne me pose pas de pb de compréhension.

Mon C, c'est Fm+(k+1)n

Je suis un peu perdu, c'est assez subtil j'ai l'impression.

[Ben314]

Si ça te permet de mieux comprendre, on peut effectivement donner des noms aux propositions :
c'est "d divise et "
c'est "d divise et "
c'est "d divise et "
Ton hypothèse de récurrence, c'est que et ce que tu doit montrer, c'est que .

[Lostounet]

Je montre donc que A <=> B (Lemme 1).
Puis je montre que A <=> C (Lemme 2, encore une double inclusion à montrer ? :/)

J'ai montré que A => C, maintenant il faut C => A, j'espère "par simple soustraction" et un argument de "d divise toute combinaison linéaire.

Mes camarades ont eu des questions du style factoriser a^n - b^n et moi j'ai ça :D

[Lostounet]

Pourquoi dans la proposition B il y a un 'et Fm' qui traine? Je m'en sors sans l'utiliser..?

[Lostounet]

Pour la question 2) est-ce qu'il faut faire une récurrence pour trouver le 'qn' en indice?

[Ben314]

Tu déduit du 1) que
Aprés, si tu divise un entier m' par un autre n' : m'=qn'+r et que tu applique la relation çi dessus en prenant n=r, m=n' et k=q ça te donne...
(l'énoncé est mal foutu au niveau des lettres qu'il utilise...)