Arithmetique
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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cedric125
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par cedric125 » 22 Mai 2019, 21:15
bonsoir est ce que je pourais avoir de l'aide sur cet exercice?
soit (a,b)∈Z². On pose I=aZ +bZ={s∈I/∃(x,y)∈Z²,s=ax+by}
1)montrer que I est un idéal de Z.
2)I contient donc un plus petit élément positif d tel que I=dZ
a)montrer que d est un diviseur commun à a et b
b)montrer que pour tout c∈Z c|a et c|b =>c|d
c)conclure
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 22 Mai 2019, 22:49
Aide-toi, et le ciel (bon, plutôt les intervenants habituels) t'aidera.
En particulier, la première question consiste juste à appliquer la définition d'idéal.
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cedric125
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par cedric125 » 22 Mai 2019, 23:00
Haha
Oui j'ai fais la première question ce n'etai pas diable
Je suis bloqué a la deuxième
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Aispor
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par Aispor » 22 Mai 2019, 23:52
Salut,
2a)montrer que d est un diviseur commun à a et b.
On a
Donc il existe
tel que
C'est à dire que a est un multiple de d.
C'est à dire que
.
Tu peux faire de même pour b.
Et d est un diviseur commun à a et b.
Modifié en dernier par
Aispor le 23 Mai 2019, 00:02, modifié 1 fois.
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Aispor
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par Aispor » 23 Mai 2019, 00:02
2b). Supposons que c∈Z avec
et
Montrons que c|d
, notons le
, notons le
Puisque
Il existe
tel que
Donc
d est un multiple de c.
ie
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Aispor
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par Aispor » 23 Mai 2019, 00:07
En conclusion.
On a montré que d est un diviseur commun à a et b.
Que si on prend un autre diviseur commun à a et b, alors il divise aussi d. (et donc c est un multiple de d, donc il est en valeur absolue plus petit que d)
Donc d est le plus grand de ces diviseurs communs à a et b.
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cedric125
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par cedric125 » 23 Mai 2019, 21:25
merci beaucoup aispor
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