Arithmétique

par **HC53** » 21 Nov 2008, 10:36

bonjour,

soit p un nombre premier et a et b entiers naturels tq pgcd(a+b,ab)=p²
je dois prouver que p² divise a² et b² puis que p divise a et b

p² divise a²+b² mais je ne vois pas comment montrer que p² divise a² et b². faut-t-il se servir de l'hypothèse p est premier et si oui comment utiliser cette hypothèse ?

merci

par **Maxmau** » 21 Nov 2008, 10:48

Bj
Le PGCG de 2 entiers ne change pas quand on retire à lun des deux entiers un multiple de lautre : PGCD( a , b ) = PGCD( a , b ka )
ICI: PGCD ( a+b , ab ) = PGCD( a+b , -a² ) = PGCD( a+b , a² )

par **HC53** » 21 Nov 2008, 11:13

merci,
pgcd(a,b) est tjs égal a pgcd(a,-b) c'est bien ca ?
on a donc p² divise a² et p² divise b²
ensuite pour montrer que p divise a et b, cette fois ci il faut se servir de l'hypothèse que p est premier ?
je ne vois pas comment me servir de cette hypothèse...

par **leon1789** » 21 Nov 2008, 12:02

Si on veut démontrer que p divise

et

, on peut utiliser les relations

et

Si

divise (a+b) et ab, alors ...

Ensuite, pour démontrer que p divise a et b, il faut utiliser un lemme bien connu.

par **Maxmau** » 21 Nov 2008, 16:36

HC53 a écrit:merci,
pgcd(a,b) est tjs égal a pgcd(a,-b) c'est bien ca ?

Oui mais ça ça va de soi

Lessentiel est de remarquer que
PGCD ( a+b , ab ) = PGCD( a+b , a² ) = PGCD( a+b , b² ).Doù

par **leon1789** » 21 Nov 2008, 18:10

Maxmau a écrit:Lessentiel est de remarquer que
PGCD ( a+b , ab ) = PGCD( a+b , a² ) = PGCD( a+b , b² ).Doù

ça me paraît bien compliqué pour démontrer prouver que p² divise a² et b² puis que p divise a et b. A-t-on réellement besoin d'utiliser des égalités de PGCD ? ou une simple division ...

par **HC53** » 22 Nov 2008, 14:28

Bonjour, merci pour vos deux réponses, je trouve que les 2 méthodes sont intéressantes.
ensuite on me demande de justifier que le pgcd de a et b ne peut etre que p ou p².
on a p divise a et p divise b donc on a p divise pgcd(a,b)
je ne vois pas pourquoi pgcd(a,b) serait forcémt p ou p²
je supose qu'il doit y avoir un lien avec pgcd(a+b,ab)=p² mais je ne vois pas lequel... pourquoi le pgcd ne pourait pas etre un muliple de p ?
merci pour votre aide.

par **ffpower** » 22 Nov 2008, 15:15

Si d divise a et b,alors d divise...

par **leon1789** » 22 Nov 2008, 15:17

tu peux essayer de démontrer cette propriété :
--> pgcd(a,b) | pgcd(a+b,ab) | pgcd(a²,b²) = pgcd(a,b)²

par **ffpower** » 22 Nov 2008, 15:19

une série de divisions pour montrer que le pgcd de a et b divise son carré,c est fort^^

par **leon1789** » 22 Nov 2008, 15:29

ffpower a écrit:une série de divisions pour montrer que le pgcd de a et b divise son carré,c est fort^^

C'est de l'humour ou pas ? (Tu n'as jamais démontré

pour justifier A = B ? Le but n'est pas de montrer qu'un nombre divise son carré , comme si on voulait démontrer que A est inclus dans A... :marteau:)

Le but est de démontrer que deux nombres ont même "partie primaire" , avec en plus des indications sur les exposants : cela résout simplement le problème...

par **leon1789** » 22 Nov 2008, 15:33

leon1789 a écrit:Le but est de démontrer que deux nombres ont même "partie primaire" , avec en plus des indications sur les exposants : cela résout simplement le problème...

cela dit, une seule division suffit pour résoudre le problème :briques:
--> pgcd(a,b) | pgcd(a+b,ab)

par **ffpower** » 22 Nov 2008, 15:56

lol :zen:

par **HC53** » 24 Nov 2008, 18:37

merci, j'ai réussi à mq pgcd(a,b) | pgcd(a+b,ab)
maintenant, je dois déterminer toutes les solutions du système suivant :
a<=b (a,b réels)
pgcd(a+b,ab)=49
ppcm(a,b)=m

je sais que m*pgcd(a,b)=ab
d'après les questions précédentes, on a 7|a et 7|b
je supose qu'il doit y avoir une condition sur m pour que le système admette au moins une solution mais je ne vois pas laquelle ...

dans le 1er cas, m=84 et ds le 2è cas, m=1075
si m=84, on a 84*7=ab ou 84*7²=ab car pgcd(a,b)=7 ou 7²
de plus, on a a+b=7k avec k entier car 7|a et 7|b
ensuite je ne vois pas comment continuer...
quelqu'un peut-il m'aider pour la suite?
merci

par **leon1789** » 24 Nov 2008, 20:01

HC53 a écrit:a<=b (a,b réels)

des réels ??

HC53 a écrit:pgcd(a+b,ab)=49
ppcm(a,b)=m
(...)
dans le 1er cas, m=84 et ds le 2è cas, m=1075

Je ne comprends pas : ton m est fixé (à 84 puis 1075) ou pas (m entier quelconque) ?

par **HC53** » 25 Nov 2008, 15:37

Bonjour,
a et b sont des entiers naturels (dsl pour l'erreur)
sinon m est un entier naturel non nul
on me demande de traiter le cas où m=84 et le cas où m=1075
puis il faut trouver une condition nécessaire sur m pour que le système admette au moins une solution et dire si cette condition est suffisante ou pas.
voila maintenant je pense que tout y est !
merci de m'aider à résoudre ce système.

par **leon1789** » 25 Nov 2008, 19:36

je commencerais par décomposer 84 (ou 1075) en facteurs premiers

par **HC53** » 26 Nov 2008, 18:37

84=2*2*3*7
on aurait alors 2*2*3*7*7=ab ou 2*2*3*7*7²=ab
mais je ne vois pas comment me servir de ce résultat ...
merci.

par **leon1789** » 26 Nov 2008, 20:45

HC53 a écrit:on aurait alors 2*2*3*7*7=ab ou 2*2*3*7*7²=ab
mais je ne vois pas comment me servir de ce résultat ...

pour trouver des couples (a,b) potentiels non ?

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